Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isinfinf GIF version

Theorem isinfinf 6791
 Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
isinfinf (ω ≼ 𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem isinfinf
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6643 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1𝐴)
21adantr 274 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1𝐴)
3 vex 2689 . . . . 5 𝑓 ∈ V
4 imaexg 4893 . . . . 5 (𝑓 ∈ V → (𝑓𝑛) ∈ V)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (𝑓𝑛) ∈ V
6 imassrn 4892 . . . . . 6 (𝑓𝑛) ⊆ ran 𝑓
7 simpr 109 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑓:ω–1-1𝐴)
8 f1f 5328 . . . . . . 7 (𝑓:ω–1-1𝐴𝑓:ω⟶𝐴)
9 frn 5281 . . . . . . 7 (𝑓:ω⟶𝐴 → ran 𝑓𝐴)
107, 8, 93syl 17 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → ran 𝑓𝐴)
116, 10sstrid 3108 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
12 ordom 4520 . . . . . . . 8 Ord ω
13 ordelss 4301 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
1412, 13mpan 420 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
1514ad2antlr 480 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑛 ⊆ ω)
16 simplr 519 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
17 f1imaeng 6686 . . . . . 6 ((𝑓:ω–1-1𝐴𝑛 ⊆ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛) ≈ 𝑛)
187, 15, 16, 17syl3anc 1216 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → (𝑓𝑛) ≈ 𝑛)
1911, 18jca 304 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛))
20 sseq1 3120 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴))
21 breq1 3932 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝑥𝑛 ↔ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛))
2220, 21anbi12d 464 . . . . 5 (𝑥 = (𝑓𝑛) → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛)))
2322spcegv 2774 . . . 4 ((𝑓𝑛) ∈ V → (((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
245, 19, 23mpsyl 65 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
252, 24exlimddv 1870 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
2625ralrimiva 2505 1 (ω ≼ 𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  Ord word 4284  ωcom 4504  ran crn 4540   “ cima 4542  ⟶wf 5119  –1-1→wf1 5120   ≈ cen 6632   ≼ cdom 6633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator