Theorem isinfinf 6541

Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
isinfinf	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem isinfinf

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6394	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴)
2	1	adantr 270	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴)
3		vex 2615	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
4		imaexg 4739	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ V → (𝑓 “ 𝑛) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (𝑓 “ 𝑛) ∈ V
6		imassrn 4738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 “ 𝑛) ⊆ ran 𝑓
7		simpr 108	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → 𝑓:ω–1-1→𝐴)
8		f1f 5162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω⟶𝐴)
9		frn 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ω⟶𝐴 → ran 𝑓 ⊆ 𝐴)
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ran 𝑓 ⊆ 𝐴)
11	6, 10	syl5ss 3021	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → (𝑓 “ 𝑛) ⊆ 𝐴)
12		ordom 4383	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
13		ordelss 4169	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
14	12, 13	mpan 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
15	14	ad2antlr 473	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → 𝑛 ⊆ ω)
16		simplr 497	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
17		f1imaeng 6437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝑛 ⊆ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓 “ 𝑛) ≈ 𝑛)
18	7, 15, 16, 17	syl3anc 1170	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → (𝑓 “ 𝑛) ≈ 𝑛)
19	11, 18	jca 300	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ((𝑓 “ 𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑛) ≈ 𝑛))
20		sseq1 3031	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑛) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑓 “ 𝑛) ⊆ 𝐴))
21		breq1 3814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑛) → (𝑥 ≈ 𝑛 ↔ (𝑓 “ 𝑛) ≈ 𝑛))
22	20, 21	anbi12d 457	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑓 “ 𝑛) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛) ↔ ((𝑓 “ 𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑛) ≈ 𝑛)))
23	22	spcegv 2697	. . . 4 ⊢ ((𝑓 “ 𝑛) ∈ V → (((𝑓 “ 𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓 “ 𝑛) ≈ 𝑛) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛)))
24	5, 19, 23	mpsyl 64	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1→𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛))
25	2, 24	exlimddv 1821	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛))
26	25	ralrimiva 2440	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285  ∃wex 1422   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  Vcvv 2612   ⊆ wss 2984   class class class wbr 3811  Ord word 4152  ωcom 4367  ran crn 4400   “ cima 4402  ⟶wf 4963  –1-1→wf1 4964   ≈ cen 6383   ≼ cdom 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-iinf 4365

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-er 6220  df-en 6386  df-dom 6387

This theorem is referenced by: (None)