ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isinfinf GIF version

Theorem isinfinf 6693
Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
isinfinf (ω ≼ 𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem isinfinf
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6546 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1𝐴)
21adantr 271 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1𝐴)
3 vex 2636 . . . . 5 𝑓 ∈ V
4 imaexg 4819 . . . . 5 (𝑓 ∈ V → (𝑓𝑛) ∈ V)
53, 4ax-mp 7 . . . 4 (𝑓𝑛) ∈ V
6 imassrn 4818 . . . . . 6 (𝑓𝑛) ⊆ ran 𝑓
7 simpr 109 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑓:ω–1-1𝐴)
8 f1f 5251 . . . . . . 7 (𝑓:ω–1-1𝐴𝑓:ω⟶𝐴)
9 frn 5204 . . . . . . 7 (𝑓:ω⟶𝐴 → ran 𝑓𝐴)
107, 8, 93syl 17 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → ran 𝑓𝐴)
116, 10syl5ss 3050 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
12 ordom 4449 . . . . . . . 8 Ord ω
13 ordelss 4230 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
1412, 13mpan 416 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
1514ad2antlr 474 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑛 ⊆ ω)
16 simplr 498 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
17 f1imaeng 6589 . . . . . 6 ((𝑓:ω–1-1𝐴𝑛 ⊆ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛) ≈ 𝑛)
187, 15, 16, 17syl3anc 1181 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → (𝑓𝑛) ≈ 𝑛)
1911, 18jca 301 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛))
20 sseq1 3062 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴))
21 breq1 3870 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝑥𝑛 ↔ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛))
2220, 21anbi12d 458 . . . . 5 (𝑥 = (𝑓𝑛) → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛)))
2322spcegv 2721 . . . 4 ((𝑓𝑛) ∈ V → (((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
245, 19, 23mpsyl 65 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
252, 24exlimddv 1833 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
2625ralrimiva 2458 1 (ω ≼ 𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wex 1433  wcel 1445  wral 2370  Vcvv 2633  wss 3013   class class class wbr 3867  Ord word 4213  ωcom 4433  ran crn 4468  cima 4470  wf 5045  1-1wf1 5046  cen 6535  cdom 6536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator