ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isinfinf GIF version

Theorem isinfinf 6541
Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
isinfinf (ω ≼ 𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem isinfinf
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6394 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1𝐴)
21adantr 270 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1𝐴)
3 vex 2615 . . . . 5 𝑓 ∈ V
4 imaexg 4739 . . . . 5 (𝑓 ∈ V → (𝑓𝑛) ∈ V)
53, 4ax-mp 7 . . . 4 (𝑓𝑛) ∈ V
6 imassrn 4738 . . . . . 6 (𝑓𝑛) ⊆ ran 𝑓
7 simpr 108 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑓:ω–1-1𝐴)
8 f1f 5162 . . . . . . 7 (𝑓:ω–1-1𝐴𝑓:ω⟶𝐴)
9 frn 5119 . . . . . . 7 (𝑓:ω⟶𝐴 → ran 𝑓𝐴)
107, 8, 93syl 17 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → ran 𝑓𝐴)
116, 10syl5ss 3021 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴)
12 ordom 4383 . . . . . . . 8 Ord ω
13 ordelss 4169 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
1412, 13mpan 415 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
1514ad2antlr 473 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑛 ⊆ ω)
16 simplr 497 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
17 f1imaeng 6437 . . . . . 6 ((𝑓:ω–1-1𝐴𝑛 ⊆ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑓𝑛) ≈ 𝑛)
187, 15, 16, 17syl3anc 1170 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → (𝑓𝑛) ≈ 𝑛)
1911, 18jca 300 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛))
20 sseq1 3031 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑓𝑛) ⊆ 𝐴))
21 breq1 3814 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝑥𝑛 ↔ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛))
2220, 21anbi12d 457 . . . . 5 (𝑥 = (𝑓𝑛) → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛)))
2322spcegv 2697 . . . 4 ((𝑓𝑛) ∈ V → (((𝑓𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑛) ≈ 𝑛) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
245, 19, 23mpsyl 64 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑓:ω–1-1𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
252, 24exlimddv 1821 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝑛 ∈ ω) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
2625ralrimiva 2440 1 (ω ≼ 𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  wral 2353  Vcvv 2612  wss 2984   class class class wbr 3811  Ord word 4152  ωcom 4367  ran crn 4400  cima 4402  wf 4963  1-1wf1 4964  cen 6383  cdom 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-er 6220  df-en 6386  df-dom 6387
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator