Theorem issubgrpd 13974

Description: Prove a subgroup by closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	|- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
issubgrpd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
issubgrpd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
issubgrpd.ss	|- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
issubgrpd.zcl	|- ( ph -> .0. e. D )
issubgrpd.acl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
issubgrpd.ncl	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
issubgrpd.g	|- ( ph -> I e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd	|- ( ph -> S e. Grp )

Distinct variable groups:   x, y, .0.   x, D, y   x, I, y   x, .+ , y   ph, x, y   x, S, y

Proof of Theorem issubgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.s	. 2 |- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
2		issubgrpd.z	. . . 4 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
3		issubgrpd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
4		issubgrpd.ss	. . . 4 |- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
5		issubgrpd.zcl	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. D )
6		issubgrpd.acl	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
7		issubgrpd.ncl	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
8		issubgrpd.g	. . . 4 |- ( ph -> I e. Grp )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	issubgrpd2 13973	. . 3 |- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )
10		eqid 2238	. . . 4 |- ( I ↾s D ) = ( I ↾s D )
11	10	subggrp 13960	. . 3 |- ( D e. (SubGrp ` I ) -> ( I ↾s D ) e. Grp )
12	9, 11	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( I ↾s D ) e. Grp )
13	1, 12	eqeltrd 2315	1 |- ( ph -> S e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   Basecbs 13333   ↾_s cress 13334   +g cplusg 13411   0gc0g 13590   Grpcgrp 13785   invgcminusg 13786  SubGrpcsubg 13950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-inn 9287  df-2 9345  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-iress 13341  df-plusg 13424  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788  df-minusg 13789  df-subg 13953

This theorem is referenced by: (None)