Theorem issubgrpd2 13907

Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	|- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
issubgrpd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
issubgrpd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
issubgrpd.ss	|- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
issubgrpd.zcl	|- ( ph -> .0. e. D )
issubgrpd.acl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
issubgrpd.ncl	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
issubgrpd.g	|- ( ph -> I e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd2	|- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Distinct variable groups:   x, y, .0.   x, D, y   x, I, y   x, .+ , y   ph, x, y   x, S, y

Proof of Theorem issubgrpd2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.ss	. 2 |- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
2		issubgrpd.zcl	. . 3 |- ( ph -> .0. e. D )
3		elex2 2830	. . 3 |- ( .0. e. D -> E. w w e. D )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. w w e. D )
5		issubgrpd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
6	5	oveqd 6067	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
8		issubgrpd.acl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
9	8	3expa 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
10	7, 9	eqeltrrd 2310	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
11	10	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
12		issubgrpd.ncl	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
13	11, 12	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
14	13	ralrimiva 2615	. 2 |- ( ph -> A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
15		issubgrpd.g	. . 3 |- ( ph -> I e. Grp )
16		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` I ) = ( Base ` I )
17		eqid 2232	. . . 4 |- ( +g ` I ) = ( +g ` I )
18		eqid 2232	. . . 4 |- ( invg ` I ) = ( invg ` I )
19	16, 17, 18	issubg2m 13906	. . 3 |- ( I e. Grp -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
20	15, 19	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
21	1, 4, 14, 20	mpbir3and 1207	1 |- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   ↾_s cress 13213   +g cplusg 13290   0gc0g 13469   Grpcgrp 13713   invgcminusg 13714  SubGrpcsubg 13884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-subg 13887

This theorem is referenced by:  issubgrpd  13908  issubrgd  14600