Theorem issubgrpd2 13082

Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	|- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
issubgrpd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
issubgrpd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
issubgrpd.ss	|- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
issubgrpd.zcl	|- ( ph -> .0. e. D )
issubgrpd.acl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
issubgrpd.ncl	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
issubgrpd.g	|- ( ph -> I e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd2	|- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Distinct variable groups:   x, y, .0.   x, D, y   x, I, y   x, .+ , y   ph, x, y   x, S, y

Proof of Theorem issubgrpd2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.ss	. 2 |- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
2		issubgrpd.zcl	. . 3 |- ( ph -> .0. e. D )
3		elex2 2765	. . 3 |- ( .0. e. D -> E. w w e. D )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. w w e. D )
5		issubgrpd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
6	5	oveqd 5905	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
8		issubgrpd.acl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
9	8	3expa 1204	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
10	7, 9	eqeltrrd 2265	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
11	10	ralrimiva 2560	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
12		issubgrpd.ncl	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
13	11, 12	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
14	13	ralrimiva 2560	. 2 |- ( ph -> A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
15		issubgrpd.g	. . 3 |- ( ph -> I e. Grp )
16		eqid 2187	. . . 4 |- ( Base ` I ) = ( Base ` I )
17		eqid 2187	. . . 4 |- ( +g ` I ) = ( +g ` I )
18		eqid 2187	. . . 4 |- ( invg ` I ) = ( invg ` I )
19	16, 17, 18	issubg2m 13081	. . 3 |- ( I e. Grp -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
20	15, 19	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
21	1, 4, 14, 20	mpbir3and 1181	1 |- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   A.wral 2465   C_ wss 3141   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12476   ↾_s cress 12477   +g cplusg 12551   0gc0g 12723   Grpcgrp 12899   invgcminusg 12900  SubGrpcsubg 13059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-plusg 12564  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-minusg 12903  df-subg 13062

This theorem is referenced by:  issubgrpd  13083  issubrgd  13641