Theorem issubgrpd2 13320

Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	|- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
issubgrpd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
issubgrpd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
issubgrpd.ss	|- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
issubgrpd.zcl	|- ( ph -> .0. e. D )
issubgrpd.acl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
issubgrpd.ncl	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
issubgrpd.g	|- ( ph -> I e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd2	|- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Distinct variable groups:   x, y, .0.   x, D, y   x, I, y   x, .+ , y   ph, x, y   x, S, y

Proof of Theorem issubgrpd2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.ss	. 2 |- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
2		issubgrpd.zcl	. . 3 |- ( ph -> .0. e. D )
3		elex2 2779	. . 3 |- ( .0. e. D -> E. w w e. D )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. w w e. D )
5		issubgrpd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
6	5	oveqd 5939	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
8		issubgrpd.acl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
9	8	3expa 1205	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
10	7, 9	eqeltrrd 2274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
11	10	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
12		issubgrpd.ncl	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
13	11, 12	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
14	13	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ph -> A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
15		issubgrpd.g	. . 3 |- ( ph -> I e. Grp )
16		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` I ) = ( Base ` I )
17		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` I ) = ( +g ` I )
18		eqid 2196	. . . 4 |- ( invg ` I ) = ( invg ` I )
19	16, 17, 18	issubg2m 13319	. . 3 |- ( I e. Grp -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
20	15, 19	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
21	1, 4, 14, 20	mpbir3and 1182	1 |- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   ↾_s cress 12679   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133  SubGrpcsubg 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-subg 13300

This theorem is referenced by:  issubgrpd  13321  issubrgd  14008