Theorem issubgrpd2 13055

Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	|- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
issubgrpd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
issubgrpd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
issubgrpd.ss	|- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
issubgrpd.zcl	|- ( ph -> .0. e. D )
issubgrpd.acl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
issubgrpd.ncl	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
issubgrpd.g	|- ( ph -> I e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd2	|- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Distinct variable groups:   x, y, .0.   x, D, y   x, I, y   x, .+ , y   ph, x, y   x, S, y

Proof of Theorem issubgrpd2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.ss	. 2 |- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
2		issubgrpd.zcl	. . 3 |- ( ph -> .0. e. D )
3		elex2 2755	. . 3 |- ( .0. e. D -> E. w w e. D )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. w w e. D )
5		issubgrpd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
6	5	oveqd 5894	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
8		issubgrpd.acl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
9	8	3expa 1203	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
10	7, 9	eqeltrrd 2255	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
11	10	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
12		issubgrpd.ncl	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
13	11, 12	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
14	13	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
15		issubgrpd.g	. . 3 |- ( ph -> I e. Grp )
16		eqid 2177	. . . 4 |- ( Base ` I ) = ( Base ` I )
17		eqid 2177	. . . 4 |- ( +g ` I ) = ( +g ` I )
18		eqid 2177	. . . 4 |- ( invg ` I ) = ( invg ` I )
19	16, 17, 18	issubg2m 13054	. . 3 |- ( I e. Grp -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
20	15, 19	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
21	1, 4, 14, 20	mpbir3and 1180	1 |- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   ↾_s cress 12465   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Grpcgrp 12882   invgcminusg 12883  SubGrpcsubg 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-subg 13035

This theorem is referenced by:  issubgrpd  13056