Theorem issubgrpd2 13396

Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	|- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
issubgrpd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
issubgrpd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
issubgrpd.ss	|- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
issubgrpd.zcl	|- ( ph -> .0. e. D )
issubgrpd.acl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
issubgrpd.ncl	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
issubgrpd.g	|- ( ph -> I e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd2	|- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Distinct variable groups:   x, y, .0.   x, D, y   x, I, y   x, .+ , y   ph, x, y   x, S, y

Proof of Theorem issubgrpd2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.ss	. 2 |- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
2		issubgrpd.zcl	. . 3 |- ( ph -> .0. e. D )
3		elex2 2779	. . 3 |- ( .0. e. D -> E. w w e. D )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. w w e. D )
5		issubgrpd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
6	5	oveqd 5942	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` I ) y ) )
8		issubgrpd.acl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
9	8	3expa 1205	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
10	7, 9	eqeltrrd 2274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ y e. D ) -> ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
11	10	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D )
12		issubgrpd.ncl	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
13	11, 12	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
14	13	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ph -> A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) )
15		issubgrpd.g	. . 3 |- ( ph -> I e. Grp )
16		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` I ) = ( Base ` I )
17		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` I ) = ( +g ` I )
18		eqid 2196	. . . 4 |- ( invg ` I ) = ( invg ` I )
19	16, 17, 18	issubg2m 13395	. . 3 |- ( I e. Grp -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
20	15, 19	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. (SubGrp ` I ) <-> ( D C_ ( Base ` I ) /\ E. w w e. D /\ A. x e. D ( A. y e. D ( x ( +g ` I ) y ) e. D /\ ( ( invg ` I ) ` x ) e. D ) ) ) )
21	1, 4, 14, 20	mpbir3and 1182	1 |- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   ↾_s cress 12704   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   Grpcgrp 13202   invgcminusg 13203  SubGrpcsubg 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-subg 13376

This theorem is referenced by:  issubgrpd  13397  issubrgd  14084