Theorem subggrp 13307

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subggrp	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 |- H = ( G ↾s S )
2		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
3	2	issubg 13303	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
4	3	simp3bi 1016	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5	1, 4	eqeltrid 2283	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   ↾_s cress 12679   Grpcgrp 13132  SubGrpcsubg 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-subg 13300

This theorem is referenced by:  subg0  13310  subginv  13311  subg0cl  13312  subginvcl  13313  subgcl  13314  issubg2m  13319  issubgrpd  13321  subsubg  13327  resghm  13390  resghm2b  13392  subgabl  13462  issubrg2  13797  islss3  13935