Theorem subggrp 13042

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subggrp	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 |- H = ( G ↾s S )
2		eqid 2177	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
3	2	issubg 13038	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
4	3	simp3bi 1014	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5	1, 4	eqeltrid 2264	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3131   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   ↾_s cress 12465   Grpcgrp 12882  SubGrpcsubg 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-subg 13035

This theorem is referenced by:  subg0  13045  subginv  13046  subg0cl  13047  subginvcl  13048  subgcl  13049  issubg2m  13054  issubgrpd  13056  subsubg  13062  issubrg2  13367  islss3  13471