Theorem iswomnimap 7227

Description: The predicate of being weakly omniscient stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomnimap	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴)DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iswomnimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomni 7226	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o)))
2		2onn 6576	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		elmapg 6717	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
5	4	imbi1d 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o) ↔ (𝑓:𝐴⟶2o → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o)))
6	5	albidv 1835	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑓(𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o)))
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o)))
8		df-ral 2477	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴)DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o))
9	7, 8	bitr4di 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴)DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  DECID wdc 835  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ωcom 4623  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  1_oc1o 6464  2_oc2o 6465   ↑_𝑚 cmap 6704  WOmnicwomni 7224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1o 6471  df-2o 6472  df-map 6706  df-womni 7225

This theorem is referenced by:  enwomnilem  7230  nninfdcinf  7232  nninfwlporlem  7234  nninfwlpoim  7239  iswomninnlem  15609