Theorem iswomnimap 7329

Description: The predicate of being weakly omniscient stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomnimap	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴)DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iswomnimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomni 7328	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o)))
2		2onn 6665	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		elmapg 6806	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
5	4	imbi1d 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o) ↔ (𝑓:𝐴⟶2o → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o)))
6	5	albidv 1870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑓(𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o)))
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o)))
8		df-ral 2513	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴)DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o))
9	7, 8	bitr4di 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴)DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  DECID wdc 839  ∀wal 1393   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ωcom 4681  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  1_oc1o 6553  2_oc2o 6554   ↑_𝑚 cmap 6793  WOmnicwomni 7326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1o 6560  df-2o 6561  df-map 6795  df-womni 7327

This theorem is referenced by:  enwomnilem  7332  nninfdcinf  7334  nninfwlporlem  7336  nninfwlpoim  7342  nninfinfwlpo  7343  iswomninnlem  16376