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Theorem enwomnilem 7091
Description: Lemma for enwomni 7092. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
enwomnilem |- ( A ~~ B -> ( A e. WOmni -> B e. WOmni ) )
Proof of Theorem enwomnilem
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6681 . . . . . . 7 |- ( A ~~ B <-> E. h h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 119 . . . . . 6 |- ( A ~~ B -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 480 . . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
4 fveq1 5460 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. h ) ` x ) )
54eqeq1d 2163 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
65ralbidv 2454 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
76dcbid 824 . . . . . . 7 |- ( f = ( g o. h ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
8 iswomnimap 7088 . . . . . . . . 9 |- ( A e. WOmni -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
98ibi 175 . . . . . . . 8 |- ( A e. WOmni -> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o )
109ad3antlr 485 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o )
11 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g e. ( 2o ^m B ) )
12 2onn 6457 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
13 relen 6678 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Rel ~~
1413brrelex2i 4623 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
15 elmapg 6595 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ B e. _V ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1612, 14, 15sylancr 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1716ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1811, 17mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g : B --> 2o )
1918adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> g : B --> 2o )
20 f1of 5407 . . . . . . . . . 10 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h : A --> B )
2120adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> h : A --> B )
22 fco 5328 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : B --> 2o /\ h : A --> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
2319, 21, 22syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
24 simpllr 524 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A e. WOmni )
25 elmapg 6595 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. om /\ A e. WOmni ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2612, 24, 25sylancr 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2723, 26mpbird 166 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) )
287, 10, 27rspcdva 2818 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> DECID A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
29 f1ofn 5408 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h Fn A )
3029ad3antlr 485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h Fn A )
31 f1ocnv 5420 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B -1-1-onto-> A )
32 f1of 5407 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' h : B -1-1-onto-> A -> `' h : B --> A )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B --> A )
3433ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B --> A )
35 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> y e. B )
3634, 35ffvelrnd 5596 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( `' h ` y ) e. A )
37 fvco2 5530 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ ( `' h ` y ) e. A ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
3830, 36, 37syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
39 fveqeq2 5470 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o ) )
40 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
4139, 40, 36rspcdva 2818 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o )
42 f1ocnvfv2 5719 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
4342fveq2d 5465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
4443ad4ant24 508 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
4538, 41, 443eqtr3rd 2196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) = 1o )
4645ralrimiva 2527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
4729ad3antlr 485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> h Fn A )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> x e. A )
49 fvco2 5530 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
51 fveqeq2 5470 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( h ` x ) -> ( ( g ` y ) = 1o <-> ( g ` ( h ` x ) ) = 1o ) )
52 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
5321ffvelrnda 5595 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
5453adantlr 469 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
5551, 52, 54rspcdva 2818 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> ( g ` ( h ` x ) ) = 1o )
5650, 55eqtrd 2187 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
5756ralrimiva 2527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
5846, 57impbida 586 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
5958dcbid 824 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> (DECID A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6028, 59mpbid 146 . . . . 5 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
613, 60exlimddv 1875 . . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
6261ralrimiva 2527 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) -> A. g e. ( 2o ^m B )DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
63 iswomnimap 7088 . . . . 5 |- ( B e. _V -> ( B e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m B )DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6414, 63syl 14 . . . 4 |- ( A ~~ B -> ( B e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m B )DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6564adantr 274 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) -> ( B e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m B )DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6662, 65mpbird 166 . 2 |- ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) -> B e. WOmni )
6766ex 114 1 |- ( A ~~ B -> ( A e. WOmni -> B e. WOmni ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 2125   A.wral 2432   _Vcvv 2709   class class class wbr 3961   omcom 4543   `'ccnv 4578   o. ccom 4583   Fn wfn 5158   -->wf 5159   -1-1-onto->wf1o 5162   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   1oc1o 6346   2oc2o 6347   ^m cmap 6582   ~~ cen 6672  WOmnicwomni 7085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1o 6353  df-2o 6354  df-map 6584  df-en 6675  df-womni 7086
This theorem is referenced by:  enwomni  7092
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