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Theorem enwomnilem 7186
Description: Lemma for enwomni 7187. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
enwomnilem |- ( A ~~ B -> ( A e. WOmni -> B e. WOmni ) )
Proof of Theorem enwomnilem
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6765 . . . . . . 7 |- ( A ~~ B <-> E. h h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 120 . . . . . 6 |- ( A ~~ B -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
4 fveq1 5529 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. h ) ` x ) )
54eqeq1d 2198 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
65ralbidv 2490 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
76dcbid 839 . . . . . . 7 |- ( f = ( g o. h ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
8 iswomnimap 7183 . . . . . . . . 9 |- ( A e. WOmni -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
98ibi 176 . . . . . . . 8 |- ( A e. WOmni -> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o )
109ad3antlr 493 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o )
11 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g e. ( 2o ^m B ) )
12 2onn 6540 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
13 relen 6762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Rel ~~
1413brrelex2i 4685 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
15 elmapg 6679 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ B e. _V ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1612, 14, 15sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1716ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1811, 17mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g : B --> 2o )
1918adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> g : B --> 2o )
20 f1of 5476 . . . . . . . . . 10 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h : A --> B )
2120adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> h : A --> B )
22 fco 5396 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : B --> 2o /\ h : A --> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
2319, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
24 simpllr 534 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A e. WOmni )
25 elmapg 6679 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. om /\ A e. WOmni ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2612, 24, 25sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2723, 26mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) )
287, 10, 27rspcdva 2861 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> DECID A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
29 f1ofn 5477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h Fn A )
3029ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h Fn A )
31 f1ocnv 5489 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B -1-1-onto-> A )
32 f1of 5476 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' h : B -1-1-onto-> A -> `' h : B --> A )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B --> A )
3433ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B --> A )
35 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> y e. B )
3634, 35ffvelcdmd 5668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( `' h ` y ) e. A )
37 fvco2 5601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ ( `' h ` y ) e. A ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
3830, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
39 fveqeq2 5539 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o ) )
40 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
4139, 40, 36rspcdva 2861 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o )
42 f1ocnvfv2 5795 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
4342fveq2d 5534 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
4443ad4ant24 516 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
4538, 41, 443eqtr3rd 2231 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) = 1o )
4645ralrimiva 2563 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
4729ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> h Fn A )
48 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> x e. A )
49 fvco2 5601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
51 fveqeq2 5539 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( h ` x ) -> ( ( g ` y ) = 1o <-> ( g ` ( h ` x ) ) = 1o ) )
52 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
5321ffvelcdmda 5667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
5453adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
5551, 52, 54rspcdva 2861 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> ( g ` ( h ` x ) ) = 1o )
5650, 55eqtrd 2222 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
5756ralrimiva 2563 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
5846, 57impbida 596 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
5958dcbid 839 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> (DECID A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6028, 59mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
613, 60exlimddv 1910 . . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
6261ralrimiva 2563 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) -> A. g e. ( 2o ^m B )DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
63 iswomnimap 7183 . . . . 5 |- ( B e. _V -> ( B e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m B )DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6414, 63syl 14 . . . 4 |- ( A ~~ B -> ( B e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m B )DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6564adantr 276 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) -> ( B e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m B )DECID A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6662, 65mpbird 167 . 2 |- ( ( A ~~ B /\ A e. WOmni ) -> B e. WOmni )
6766ex 115 1 |- ( A ~~ B -> ( A e. WOmni -> B e. WOmni ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752   class class class wbr 4018   omcom 4604   `'ccnv 4640   o. ccom 4645   Fn wfn 5226   -->wf 5227   -1-1-onto->wf1o 5230   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   1oc1o 6428   2oc2o 6429   ^m cmap 6666   ~~ cen 6756  WOmnicwomni 7180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1o 6435  df-2o 6436  df-map 6668  df-en 6759  df-womni 7181
This theorem is referenced by:  enwomni  7187
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