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Theorem enwomnilem 7141
Description: Lemma for enwomni 7142. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
enwomnilem  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. WOmni  ->  B  e. WOmni
) )

Proof of Theorem enwomnilem
Dummy variables  f  g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6721 . . . . . . 7  |-  ( A 
~~  B  <->  E. h  h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  B  ->  E. h  h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 485 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  ->  E. h  h : A
-1-1-onto-> B )
4 fveq1 5493 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  o.  h ) `  x ) )
54eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
65ralbidv 2470 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
76dcbid 833 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  <-> DECID  A. x  e.  A  ( ( g  o.  h
) `  x )  =  1o ) )
8 iswomnimap 7138 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. WOmni  ->  ( A  e. WOmni  <->  A. f  e.  ( 2o 
^m  A )DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) )
98ibi 175 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. WOmni  ->  A. f  e.  ( 2o  ^m  A )DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o )
109ad3antlr 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  A. f  e.  ( 2o  ^m  A
)DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )
11 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
g  e.  ( 2o 
^m  B ) )
12 2onn 6497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  om
13 relen 6718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  ~~
1413brrelex2i 4653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
15 elmapg 6635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  B  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( 2o  ^m  B )  <-> 
g : B --> 2o ) )
1612, 14, 15sylancr 412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  (
g  e.  ( 2o 
^m  B )  <->  g : B
--> 2o ) )
1716ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
( g  e.  ( 2o  ^m  B )  <-> 
g : B --> 2o ) )
1811, 17mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
g : B --> 2o )
1918adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  g : B
--> 2o )
20 f1of 5440 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  h : A
--> B )
2120adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  h : A
--> B )
22 fco 5361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : B --> 2o  /\  h : A --> B )  ->  ( g  o.  h ) : A --> 2o )
2319, 21, 22syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( g  o.  h ) : A --> 2o )
24 simpllr 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  A  e. WOmni )
25 elmapg 6635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  A  e. WOmni )  ->  ( ( g  o.  h
)  e.  ( 2o 
^m  A )  <->  ( g  o.  h ) : A --> 2o ) )
2612, 24, 25sylancr 412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( (
g  o.  h )  e.  ( 2o  ^m  A )  <->  ( g  o.  h ) : A --> 2o ) )
2723, 26mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( g  o.  h )  e.  ( 2o  ^m  A ) )
287, 10, 27rspcdva 2839 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  -> DECID  A. x  e.  A  ( ( g  o.  h ) `  x
)  =  1o )
29 f1ofn 5441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  h  Fn  A )
3029ad3antlr 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  h  Fn  A )
31 f1ocnv 5453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  `' h : B -1-1-onto-> A )
32 f1of 5440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' h : B -1-1-onto-> A  ->  `' h : B --> A )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  `' h : B --> A )
3433ad3antlr 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  `' h : B --> A )
35 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
3634, 35ffvelrnd 5629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  ( `' h `  y )  e.  A )
37 fvco2 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  Fn  A  /\  ( `' h `  y )  e.  A )  -> 
( ( g  o.  h ) `  ( `' h `  y ) )  =  ( g `
 ( h `  ( `' h `  y ) ) ) )
3830, 36, 37syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
( g  o.  h
) `  ( `' h `  y )
)  =  ( g `
 ( h `  ( `' h `  y ) ) ) )
39 fveqeq2 5503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' h `  y )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  o.  h ) `
 ( `' h `  y ) )  =  1o ) )
40 simplr 525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o )
4139, 40, 36rspcdva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
( g  o.  h
) `  ( `' h `  y )
)  =  1o )
42 f1ocnvfv2 5754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( h `  ( `' h `  y ) )  =  y )
4342fveq2d 5498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( g `  (
h `  ( `' h `  y )
) )  =  ( g `  y ) )
4443ad4ant24 513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
g `  ( h `  ( `' h `  y ) ) )  =  ( g `  y ) )
4538, 41, 443eqtr3rd 2212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
g `  y )  =  1o )
4645ralrimiva 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  ->  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o )
4729ad3antlr 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o )  /\  x  e.  A )  ->  h  Fn  A )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
49 fvco2 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( g  o.  h ) `  x
)  =  ( g `
 ( h `  x ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g  o.  h
) `  x )  =  ( g `  ( h `  x
) ) )
51 fveqeq2 5503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( h `  x )  ->  (
( g `  y
)  =  1o  <->  ( g `  ( h `  x
) )  =  1o ) )
52 simplr 525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o )  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o )
5321ffvelrnda 5628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
h `  x )  e.  B )
5453adantlr 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o )  /\  x  e.  A )  ->  (
h `  x )  e.  B )
5551, 52, 54rspcdva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  ( h `  x ) )  =  1o )
5650, 55eqtrd 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )
5756ralrimiva 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o )  ->  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o )
5846, 57impbida 591 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o  <->  A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o ) )
5958dcbid 833 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  (DECID  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o  <-> DECID  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o ) )
6028, 59mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  -> DECID  A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o )
613, 60exlimddv 1891 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> DECID  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o )
6261ralrimiva 2543 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  ->  A. g  e.  ( 2o 
^m  B )DECID  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o )
63 iswomnimap 7138 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. WOmni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B )DECID  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o ) )
6414, 63syl 14 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  ( B  e. WOmni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B )DECID  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o ) )
6564adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  ->  ( B  e. WOmni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B )DECID  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o ) )
6662, 65mpbird 166 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. WOmni )  ->  B  e. WOmni )
6766ex 114 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. WOmni  ->  B  e. WOmni
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 829    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   class class class wbr 3987   omcom 4572   `'ccnv 4608    o. ccom 4613    Fn wfn 5191   -->wf 5192   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   1oc1o 6385   2oc2o 6386    ^m cmap 6622    ~~ cen 6712  WOmnicwomni 7135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1o 6392  df-2o 6393  df-map 6624  df-en 6715  df-womni 7136
This theorem is referenced by:  enwomni  7142
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