Theorem lesub0 8438

Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) <-> A = 0 ) )

Proof of Theorem lesub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7960	. . 3 |- ( B e. RR -> 0 e. RR )
2		letri3 8040	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A = 0 <-> ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = 0 <-> ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) ) )
4		ancom 266	. . 3 |- ( ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) <-> ( 0 <_ A /\ A <_ 0 ) )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> A e. RR )
6		0red 7960	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> 0 e. RR )
7		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> B e. RR )
8		lesub2 8416	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> ( B - 0 ) <_ ( B - A ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> ( B - 0 ) <_ ( B - A ) ) )
10	7	recnd 7988	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> B e. CC )
11	10	subid1d 8259	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - 0 ) = B )
12	11	breq1d 4015	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B - 0 ) <_ ( B - A ) <-> B <_ ( B - A ) ) )
13	9, 12	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> B <_ ( B - A ) ) )
14	13	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> B <_ ( B - A ) ) )
15	14	anbi2d 464	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 0 ) <-> ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) ) )
16	4, 15	bitrid 192	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) <-> ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) ) )
17	3, 16	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) <-> A = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   <_ cle 7995   - cmin 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133

This theorem is referenced by:  lesub0i  8455