Theorem lesub0 8465

Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) <-> A = 0 ) )

Proof of Theorem lesub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7987	. . 3 |- ( B e. RR -> 0 e. RR )
2		letri3 8067	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A = 0 <-> ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = 0 <-> ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) ) )
4		ancom 266	. . 3 |- ( ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) <-> ( 0 <_ A /\ A <_ 0 ) )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> A e. RR )
6		0red 7987	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> 0 e. RR )
7		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> B e. RR )
8		lesub2 8443	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> ( B - 0 ) <_ ( B - A ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> ( B - 0 ) <_ ( B - A ) ) )
10	7	recnd 8015	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> B e. CC )
11	10	subid1d 8286	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - 0 ) = B )
12	11	breq1d 4028	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B - 0 ) <_ ( B - A ) <-> B <_ ( B - A ) ) )
13	9, 12	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> B <_ ( B - A ) ) )
14	13	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> B <_ ( B - A ) ) )
15	14	anbi2d 464	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 0 ) <-> ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) ) )
16	4, 15	bitrid 192	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) <-> ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) ) )
17	3, 16	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) <-> A = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895   RRcr 7839   0cc0 7840   <_ cle 8022   - cmin 8157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160

This theorem is referenced by:  lesub0i  8482