Theorem lesub0 8572

Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) <-> A = 0 ) )

Proof of Theorem lesub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8093	. . 3 |- ( B e. RR -> 0 e. RR )
2		letri3 8173	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A = 0 <-> ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = 0 <-> ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) ) )
4		ancom 266	. . 3 |- ( ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) <-> ( 0 <_ A /\ A <_ 0 ) )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> A e. RR )
6		0red 8093	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> 0 e. RR )
7		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> B e. RR )
8		lesub2 8550	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> ( B - 0 ) <_ ( B - A ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> ( B - 0 ) <_ ( B - A ) ) )
10	7	recnd 8121	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> B e. CC )
11	10	subid1d 8392	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - 0 ) = B )
12	11	breq1d 4061	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B - 0 ) <_ ( B - A ) <-> B <_ ( B - A ) ) )
13	9, 12	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> B <_ ( B - A ) ) )
14	13	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> B <_ ( B - A ) ) )
15	14	anbi2d 464	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 0 ) <-> ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) ) )
16	4, 15	bitrid 192	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ 0 /\ 0 <_ A ) <-> ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) ) )
17	3, 16	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ B <_ ( B - A ) ) <-> A = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   RRcr 7944   0cc0 7945   <_ cle 8128   - cmin 8263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266

This theorem is referenced by:  lesub0i  8589