Theorem lesub0 8154

Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem lesub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7685	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		letri3 7762	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	sylan2 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
4		ancom 264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
5		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0red 7685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
7		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		lesub2 8132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
10	7	recnd 7712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	subid1d 7979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
12	11	breq1d 3903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 0) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
13	9, 12	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
14	13	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
15	14	anbi2d 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴))))
16	4, 15	syl5bb 191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴))))
17	3, 16	bitr2d 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726  ℝcr 7540  0cc0 7541   ≤ cle 7719   − cmin 7850

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853

This theorem is referenced by:  lesub0i  8171