Theorem lesub1 7934

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 13-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A - C ) <_ ( B - C ) ) )

Proof of Theorem lesub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 943	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
2		simp3 945	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
3		simp2 944	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
4	3, 2	resubcld 7859	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B - C ) e. RR )
5		lesubadd 7912	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ ( B - C ) e. RR ) -> ( ( A - C ) <_ ( B - C ) <-> A <_ ( ( B - C ) + C ) ) )
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1174	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - C ) <_ ( B - C ) <-> A <_ ( ( B - C ) + C ) ) )
7	3	recnd 7516	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
8	2	recnd 7516	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
9	7, 8	npcand 7797	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( B - C ) + C ) = B )
10	9	breq2d 3857	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ ( ( B - C ) + C ) <-> A <_ B ) )
11	6, 10	bitr2d 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A - C ) <_ ( B - C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 924   e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7349   + caddc 7353   <_ cle 7523   - cmin 7653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656

This theorem is referenced by:  le2sub  7939  lesub1d  8029  iccshftl  9413  bernneq2  10075  hashdvds  11475