Theorem lesub1 8438

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 13-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A - C ) <_ ( B - C ) ) )

Proof of Theorem lesub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
2		simp3 1001	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
3		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
4	3, 2	resubcld 8363	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B - C ) e. RR )
5		lesubadd 8416	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ ( B - C ) e. RR ) -> ( ( A - C ) <_ ( B - C ) <-> A <_ ( ( B - C ) + C ) ) )
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - C ) <_ ( B - C ) <-> A <_ ( ( B - C ) + C ) ) )
7	3	recnd 8011	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
8	2	recnd 8011	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
9	7, 8	npcand 8297	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( B - C ) + C ) = B )
10	9	breq2d 4030	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ ( ( B - C ) + C ) <-> A <_ B ) )
11	6, 10	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A - C ) <_ ( B - C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   RRcr 7835   + caddc 7839   <_ cle 8018   - cmin 8153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156

This theorem is referenced by:  le2sub  8443  lesub1d  8534  iccshftl  10021  bernneq2  10668  hashdvds  12248