Theorem lesub1 8211

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 13-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A - C ) <_ ( B - C ) ) )

Proof of Theorem lesub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 981	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
2		simp3 983	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
3		simp2 982	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
4	3, 2	resubcld 8136	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B - C ) e. RR )
5		lesubadd 8189	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ ( B - C ) e. RR ) -> ( ( A - C ) <_ ( B - C ) <-> A <_ ( ( B - C ) + C ) ) )
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - C ) <_ ( B - C ) <-> A <_ ( ( B - C ) + C ) ) )
7	3	recnd 7787	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
8	2	recnd 7787	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
9	7, 8	npcand 8070	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( B - C ) + C ) = B )
10	9	breq2d 3936	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ ( ( B - C ) + C ) <-> A <_ B ) )
11	6, 10	bitr2d 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A - C ) <_ ( B - C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   + caddc 7616   <_ cle 7794   - cmin 7926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929

This theorem is referenced by:  le2sub  8216  lesub1d  8307  iccshftl  9772  bernneq2  10406  hashdvds  11886