ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abs2dif Unicode version
Theorem abs2dif 11006
Description: Difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
abs2dif |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
Proof of Theorem abs2dif
StepHypRef Expression
1 subid1 8095 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) = A )
21fveq2d 5472 . . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( A - 0 ) ) = ( abs ` A ) )
3 subid1 8095 . . . 4 |- ( B e. CC -> ( B - 0 ) = B )
43fveq2d 5472 . . 3 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( B - 0 ) ) = ( abs ` B ) )
52, 4oveqan12d 5843 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - 0 ) ) - ( abs ` ( B - 0 ) ) ) = ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) )
6 0cn 7870 . . . 4 |- 0 e. CC
7 abs3dif 11005 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A - 0 ) ) <_ ( ( abs ` ( A - B ) ) + ( abs ` ( B - 0 ) ) ) )
86, 7mp3an2 1307 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A - 0 ) ) <_ ( ( abs ` ( A - B ) ) + ( abs ` ( B - 0 ) ) ) )
9 subcl 8074 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( A - 0 ) e. CC )
106, 9mpan2 422 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) e. CC )
11 abscl 10951 . . . . . . 7 |- ( ( A - 0 ) e. CC -> ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR )
1210, 11syl 14 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR )
13 subcl 8074 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( B - 0 ) e. CC )
146, 13mpan2 422 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B - 0 ) e. CC )
15 abscl 10951 . . . . . . 7 |- ( ( B - 0 ) e. CC -> ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR )
1614, 15syl 14 . . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR )
1712, 16anim12i 336 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR ) )
18 subcl 8074 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
19 abscl 10951 . . . . . 6 |- ( ( A - B ) e. CC -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
2018, 19syl 14 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
21 df-3an 965 . . . . 5 |- ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) <-> ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR ) /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) )
2217, 20, 21sylanbrc 414 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) )
23 lesubadd 8309 . . . 4 |- ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) - ( abs ` ( B - 0 ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> ( abs ` ( A - 0 ) ) <_ ( ( abs ` ( A - B ) ) + ( abs ` ( B - 0 ) ) ) ) )
2422, 23syl 14 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) - ( abs ` ( B - 0 ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> ( abs ` ( A - 0 ) ) <_ ( ( abs ` ( A - B ) ) + ( abs ` ( B - 0 ) ) ) ) )
258, 24mpbird 166 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - 0 ) ) - ( abs ` ( B - 0 ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
265, 25eqbrtrrd 3988 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   RRcr 7731   0cc0 7732   + caddc 7735   <_ cle 7913   - cmin 8046   abscabs 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899
This theorem is referenced by:  abs2difabs  11008  caubnd2  11017  abs2difd  11097
  Copyright terms: Public domain W3C validator