Theorem abs2dif 11117

Description: Difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abs2dif	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )

Proof of Theorem abs2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 8179	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) = A )
2	1	fveq2d 5521	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( A - 0 ) ) = ( abs ` A ) )
3		subid1 8179	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( B - 0 ) = B )
4	3	fveq2d 5521	. . 3 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( B - 0 ) ) = ( abs ` B ) )
5	2, 4	oveqan12d 5896	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - 0 ) ) - ( abs ` ( B - 0 ) ) ) = ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) )
6		0cn 7951	. . . 4 |- 0 e. CC
7		abs3dif 11116	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A - 0 ) ) <_ ( ( abs ` ( A - B ) ) + ( abs ` ( B - 0 ) ) ) )
8	6, 7	mp3an2 1325	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A - 0 ) ) <_ ( ( abs ` ( A - B ) ) + ( abs ` ( B - 0 ) ) ) )
9		subcl 8158	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( A - 0 ) e. CC )
10	6, 9	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) e. CC )
11		abscl 11062	. . . . . . 7 |- ( ( A - 0 ) e. CC -> ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR )
13		subcl 8158	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( B - 0 ) e. CC )
14	6, 13	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B - 0 ) e. CC )
15		abscl 11062	. . . . . . 7 |- ( ( B - 0 ) e. CC -> ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR )
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR )
17	12, 16	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR ) )
18		subcl 8158	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
19		abscl 11062	. . . . . 6 |- ( ( A - B ) e. CC -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
21		df-3an 980	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) <-> ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR ) /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) )
22	17, 20, 21	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) )
23		lesubadd 8393	. . . 4 |- ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) - ( abs ` ( B - 0 ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> ( abs ` ( A - 0 ) ) <_ ( ( abs ` ( A - B ) ) + ( abs ` ( B - 0 ) ) ) ) )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - 0 ) ) - ( abs ` ( B - 0 ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> ( abs ` ( A - 0 ) ) <_ ( ( abs ` ( A - B ) ) + ( abs ` ( B - 0 ) ) ) ) )
25	8, 24	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - 0 ) ) - ( abs ` ( B - 0 ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
26	5, 25	eqbrtrrd 4029	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   + caddc 7816   <_ cle 7995   - cmin 8130   abscabs 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010

This theorem is referenced by:  abs2difabs  11119  caubnd2  11128  abs2difd  11208