Theorem resubcld 8527

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8410	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   RRcr 7998   - cmin 8317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8579  lesubadd  8581  ltaddsub  8583  leaddsub  8585  lesub1  8603  lesub2  8604  ltsub1  8605  ltsub2  8606  lt2sub  8607  le2sub  8608  rereim  8733  ltmul1a  8738  cru  8749  lemul1a  9005  ztri3or  9489  lincmb01cmp  10199  iccf1o  10200  rebtwn2z  10474  qbtwnrelemcalc  10475  qbtwnre  10476  intfracq  10542  modqval  10546  modqlt  10555  modqsubdir  10615  ser3le  10759  expnbnd  10885  crre  11368  remullem  11382  recvguniqlem  11505  resqrexlemover  11521  resqrexlemcalc2  11526  resqrexlemcalc3  11527  resqrexlemnmsq  11528  resqrexlemnm  11529  resqrexlemcvg  11530  resqrexlemglsq  11533  resqrexlemga  11534  fzomaxdiflem  11623  caubnd2  11628  amgm2  11629  icodiamlt  11691  qdenre  11713  maxabslemab  11717  maxabslemlub  11718  maxltsup  11729  bdtrilem  11750  bdtri  11751  mulcn2  11823  reccn2ap  11824  climle  11845  climsqz  11846  climsqz2  11847  climcvg1nlem  11860  fsumle  11974  cvgratnnlembern  12034  cvgratnnlemsumlt  12039  cvgratnnlemfm  12040  cvgratnnlemrate  12041  cvgratnn  12042  efltim  12209  sin01bnd  12268  sin01gt0  12273  cos12dec  12279  bitscmp  12469  bitsinv1lem  12472  uzwodc  12558  pythagtriplem12  12798  pythagtriplem14  12800  4sqlem15  12928  blss2ps  15080  blss2  15081  blssps  15101  blss  15102  maxcncf  15289  mincncf  15290  ivthinclemlopn  15310  ivthinclemuopn  15312  ivthreinc  15319  dvcjbr  15382  reeff1oleme  15446  efltlemlt  15448  sin0pilem1  15455  tangtx  15512  cosordlem  15523  cosq34lt1  15524  gausslemma2dlem1a  15737  lgsquadlem1  15756  cvgcmp2nlemabs  16400  iooref1o  16402  trilpolemlt1  16409  trirec0  16412  apdifflemf  16414  neap0mkv  16437