Theorem resubcld 8143

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8026	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   RRcr 7619   - cmin 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-neg 7936

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8194  lesubadd  8196  ltaddsub  8198  leaddsub  8200  lesub1  8218  lesub2  8219  ltsub1  8220  ltsub2  8221  lt2sub  8222  le2sub  8223  rereim  8348  ltmul1a  8353  cru  8364  lemul1a  8616  ztri3or  9097  lincmb01cmp  9786  iccf1o  9787  rebtwn2z  10032  qbtwnrelemcalc  10033  qbtwnre  10034  intfracq  10093  modqval  10097  modqlt  10106  modqsubdir  10166  ser3le  10291  expnbnd  10415  crre  10629  remullem  10643  recvguniqlem  10766  resqrexlemover  10782  resqrexlemcalc2  10787  resqrexlemcalc3  10788  resqrexlemnmsq  10789  resqrexlemnm  10790  resqrexlemcvg  10791  resqrexlemglsq  10794  resqrexlemga  10795  fzomaxdiflem  10884  caubnd2  10889  amgm2  10890  icodiamlt  10952  qdenre  10974  maxabslemab  10978  maxabslemlub  10979  maxltsup  10990  bdtrilem  11010  bdtri  11011  mulcn2  11081  reccn2ap  11082  climle  11103  climsqz  11104  climsqz2  11105  climcvg1nlem  11118  fsumle  11232  cvgratnnlembern  11292  cvgratnnlemsumlt  11297  cvgratnnlemfm  11298  cvgratnnlemrate  11299  cvgratnn  11300  efltim  11404  sin01bnd  11464  sin01gt0  11468  cos12dec  11474  blss2ps  12575  blss2  12576  blssps  12596  blss  12597  ivthinclemlopn  12783  ivthinclemuopn  12785  dvcjbr  12841  sin0pilem1  12862  tangtx  12919  cosordlem  12930  cosq34lt1  12931  cvgcmp2nlemabs  13227  trilpolemlt1  13234