Theorem resubcld 8455

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8338	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   RRcr 7926   - cmin 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-neg 8248

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8507  lesubadd  8509  ltaddsub  8511  leaddsub  8513  lesub1  8531  lesub2  8532  ltsub1  8533  ltsub2  8534  lt2sub  8535  le2sub  8536  rereim  8661  ltmul1a  8666  cru  8677  lemul1a  8933  ztri3or  9417  lincmb01cmp  10127  iccf1o  10128  rebtwn2z  10399  qbtwnrelemcalc  10400  qbtwnre  10401  intfracq  10467  modqval  10471  modqlt  10480  modqsubdir  10540  ser3le  10684  expnbnd  10810  crre  11201  remullem  11215  recvguniqlem  11338  resqrexlemover  11354  resqrexlemcalc2  11359  resqrexlemcalc3  11360  resqrexlemnmsq  11361  resqrexlemnm  11362  resqrexlemcvg  11363  resqrexlemglsq  11366  resqrexlemga  11367  fzomaxdiflem  11456  caubnd2  11461  amgm2  11462  icodiamlt  11524  qdenre  11546  maxabslemab  11550  maxabslemlub  11551  maxltsup  11562  bdtrilem  11583  bdtri  11584  mulcn2  11656  reccn2ap  11657  climle  11678  climsqz  11679  climsqz2  11680  climcvg1nlem  11693  fsumle  11807  cvgratnnlembern  11867  cvgratnnlemsumlt  11872  cvgratnnlemfm  11873  cvgratnnlemrate  11874  cvgratnn  11875  efltim  12042  sin01bnd  12101  sin01gt0  12106  cos12dec  12112  bitscmp  12302  bitsinv1lem  12305  uzwodc  12391  pythagtriplem12  12631  pythagtriplem14  12633  4sqlem15  12761  blss2ps  14911  blss2  14912  blssps  14932  blss  14933  maxcncf  15120  mincncf  15121  ivthinclemlopn  15141  ivthinclemuopn  15143  ivthreinc  15150  dvcjbr  15213  reeff1oleme  15277  efltlemlt  15279  sin0pilem1  15286  tangtx  15343  cosordlem  15354  cosq34lt1  15355  gausslemma2dlem1a  15568  lgsquadlem1  15587  cvgcmp2nlemabs  16008  iooref1o  16010  trilpolemlt1  16017  trirec0  16020  apdifflemf  16022  neap0mkv  16045