Theorem resubcld 8256

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8139	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128  (class class class)co 5824   RRcr 7731   - cmin 8046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4496  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-sub 8048  df-neg 8049

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8307  lesubadd  8309  ltaddsub  8311  leaddsub  8313  lesub1  8331  lesub2  8332  ltsub1  8333  ltsub2  8334  lt2sub  8335  le2sub  8336  rereim  8461  ltmul1a  8466  cru  8477  lemul1a  8729  ztri3or  9210  lincmb01cmp  9907  iccf1o  9908  rebtwn2z  10154  qbtwnrelemcalc  10155  qbtwnre  10156  intfracq  10219  modqval  10223  modqlt  10232  modqsubdir  10292  ser3le  10417  expnbnd  10541  crre  10757  remullem  10771  recvguniqlem  10894  resqrexlemover  10910  resqrexlemcalc2  10915  resqrexlemcalc3  10916  resqrexlemnmsq  10917  resqrexlemnm  10918  resqrexlemcvg  10919  resqrexlemglsq  10922  resqrexlemga  10923  fzomaxdiflem  11012  caubnd2  11017  amgm2  11018  icodiamlt  11080  qdenre  11102  maxabslemab  11106  maxabslemlub  11107  maxltsup  11118  bdtrilem  11138  bdtri  11139  mulcn2  11209  reccn2ap  11210  climle  11231  climsqz  11232  climsqz2  11233  climcvg1nlem  11246  fsumle  11360  cvgratnnlembern  11420  cvgratnnlemsumlt  11425  cvgratnnlemfm  11426  cvgratnnlemrate  11427  cvgratnn  11428  efltim  11595  sin01bnd  11654  sin01gt0  11658  cos12dec  11664  blss2ps  12817  blss2  12818  blssps  12838  blss  12839  ivthinclemlopn  13025  ivthinclemuopn  13027  dvcjbr  13083  reeff1oleme  13104  efltlemlt  13106  sin0pilem1  13113  tangtx  13170  cosordlem  13181  cosq34lt1  13182  cvgcmp2nlemabs  13614  iooref1o  13616  trilpolemlt1  13623  trirec0  13626  apdifflemf  13628