ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resubcld Unicode version

Theorem resubcld 8150
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resubcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resubcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resubcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 resubcl 8033 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 408 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1480  (class class class)co 5774   RRcr 7626    - cmin 7940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7942  df-neg 7943
This theorem is referenced by:  ltsubadd  8201  lesubadd  8203  ltaddsub  8205  leaddsub  8207  lesub1  8225  lesub2  8226  ltsub1  8227  ltsub2  8228  lt2sub  8229  le2sub  8230  rereim  8355  ltmul1a  8360  cru  8371  lemul1a  8623  ztri3or  9104  lincmb01cmp  9793  iccf1o  9794  rebtwn2z  10039  qbtwnrelemcalc  10040  qbtwnre  10041  intfracq  10100  modqval  10104  modqlt  10113  modqsubdir  10173  ser3le  10298  expnbnd  10422  crre  10636  remullem  10650  recvguniqlem  10773  resqrexlemover  10789  resqrexlemcalc2  10794  resqrexlemcalc3  10795  resqrexlemnmsq  10796  resqrexlemnm  10797  resqrexlemcvg  10798  resqrexlemglsq  10801  resqrexlemga  10802  fzomaxdiflem  10891  caubnd2  10896  amgm2  10897  icodiamlt  10959  qdenre  10981  maxabslemab  10985  maxabslemlub  10986  maxltsup  10997  bdtrilem  11017  bdtri  11018  mulcn2  11088  reccn2ap  11089  climle  11110  climsqz  11111  climsqz2  11112  climcvg1nlem  11125  fsumle  11239  cvgratnnlembern  11299  cvgratnnlemsumlt  11304  cvgratnnlemfm  11305  cvgratnnlemrate  11306  cvgratnn  11307  efltim  11411  sin01bnd  11471  sin01gt0  11475  cos12dec  11481  blss2ps  12585  blss2  12586  blssps  12606  blss  12607  ivthinclemlopn  12793  ivthinclemuopn  12795  dvcjbr  12851  reeff1oleme  12871  sin0pilem1  12875  tangtx  12932  cosordlem  12943  cosq34lt1  12944  cvgcmp2nlemabs  13257  trilpolemlt1  13264  apdifflemf  13267
  Copyright terms: Public domain W3C validator