Theorem resubcld 8275

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8158	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136  (class class class)co 5841   RRcr 7748   - cmin 8065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-setind 4513  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-sub 8067  df-neg 8068

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8326  lesubadd  8328  ltaddsub  8330  leaddsub  8332  lesub1  8350  lesub2  8351  ltsub1  8352  ltsub2  8353  lt2sub  8354  le2sub  8355  rereim  8480  ltmul1a  8485  cru  8496  lemul1a  8749  ztri3or  9230  lincmb01cmp  9935  iccf1o  9936  rebtwn2z  10186  qbtwnrelemcalc  10187  qbtwnre  10188  intfracq  10251  modqval  10255  modqlt  10264  modqsubdir  10324  ser3le  10449  expnbnd  10574  crre  10795  remullem  10809  recvguniqlem  10932  resqrexlemover  10948  resqrexlemcalc2  10953  resqrexlemcalc3  10954  resqrexlemnmsq  10955  resqrexlemnm  10956  resqrexlemcvg  10957  resqrexlemglsq  10960  resqrexlemga  10961  fzomaxdiflem  11050  caubnd2  11055  amgm2  11056  icodiamlt  11118  qdenre  11140  maxabslemab  11144  maxabslemlub  11145  maxltsup  11156  bdtrilem  11176  bdtri  11177  mulcn2  11249  reccn2ap  11250  climle  11271  climsqz  11272  climsqz2  11273  climcvg1nlem  11286  fsumle  11400  cvgratnnlembern  11460  cvgratnnlemsumlt  11465  cvgratnnlemfm  11466  cvgratnnlemrate  11467  cvgratnn  11468  efltim  11635  sin01bnd  11694  sin01gt0  11698  cos12dec  11704  uzwodc  11966  pythagtriplem12  12203  pythagtriplem14  12205  blss2ps  13006  blss2  13007  blssps  13027  blss  13028  ivthinclemlopn  13214  ivthinclemuopn  13216  dvcjbr  13272  reeff1oleme  13293  efltlemlt  13295  sin0pilem1  13302  tangtx  13359  cosordlem  13370  cosq34lt1  13371  cvgcmp2nlemabs  13871  iooref1o  13873  trilpolemlt1  13880  trirec0  13883  apdifflemf  13885