Theorem resubcld 8710

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8592	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   RRcr 8179   - cmin 8499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-neg 8502

This theorem is used by:  ltsubadd  8762  lesubadd  8764  ltaddsub  8766  leaddsub  8768  lesub1  8786  lesub2  8787  ltsub1  8788  ltsub2  8789  lt2sub  8790  le2sub  8791  rereim  8917  ltmul1a  8922  cru  8933  lemul1a  9191  ztri3or  9692  lincmb01cmp  10416  lincmble  10417  iccf1o  10418  rebtwn2z  10700  qbtwnrelemcalc  10701  qbtwnre  10702  intfracq  10771  modqval  10775  modqlt  10784  modqsubdir  10844  ser3le  10988  resq01  11109  expnbnd  11115  bcm1n  11222  crre  11637  remullem  11651  recvguniqlem  11775  resqrexlemover  11791  resqrexlemcalc2  11796  resqrexlemcalc3  11797  resqrexlemnmsq  11798  resqrexlemnm  11799  resqrexlemcvg  11800  resqrexlemglsq  11803  resqrexlemga  11804  fzomaxdiflem  11894  caubnd2  11899  amgm2  11900  icodiamlt  11962  qdenre  11984  maxabslemab  11988  maxabslemlub  11989  maxltsup  12000  bdtrilem  12023  bdtri  12024  mulcn2  12096  reccn2ap  12097  climle  12118  climsqz  12119  climsqz2  12120  climcvg1nlem  12133  fsumle  12248  cvgratnnlembern  12308  cvgratnnlemsumlt  12313  cvgratnnlemfm  12314  cvgratnnlemrate  12315  cvgratnn  12316  efltim  12483  sin01bnd  12542  sin01gt0  12547  cos12dec  12553  bitscmp  12743  bitsinv1lem  12746  uzwodc  12832  pythagtriplem12  13076  pythagtriplem14  13078  4sqlem15  13206  ballotfilemfrcn0  13324  gzsumshift  14200  blss2ps  15559  blss2  15560  blssps  15580  blss  15581  maxcncf  15768  mincncf  15769  ivthinclemlopn  15789  ivthinclemuopn  15791  ivthreinc  15798  dvcjbr  15861  reeff1oleme  15925  efltlemlt  15927  sin0pilem1  15935  tangtx  15992  cosordlem  16003  cosq34lt1  16004  birthdaylem3  16149  pellexlem2  16152  bposlem1  16233  gausslemma2dlem1a  16299  lgsquadlem1  16318  repiecelem  17196  cvgcmp2nlemabs  17203  iooref1o  17205  trilpolemlt1  17212  trirec0  17215  apdifflemf  17217  qdiff  17220  neap0mkv  17241