Theorem resubcld 8167

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8050	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   RRcr 7643   - cmin 7957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-neg 7960

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8218  lesubadd  8220  ltaddsub  8222  leaddsub  8224  lesub1  8242  lesub2  8243  ltsub1  8244  ltsub2  8245  lt2sub  8246  le2sub  8247  rereim  8372  ltmul1a  8377  cru  8388  lemul1a  8640  ztri3or  9121  lincmb01cmp  9816  iccf1o  9817  rebtwn2z  10063  qbtwnrelemcalc  10064  qbtwnre  10065  intfracq  10124  modqval  10128  modqlt  10137  modqsubdir  10197  ser3le  10322  expnbnd  10446  crre  10661  remullem  10675  recvguniqlem  10798  resqrexlemover  10814  resqrexlemcalc2  10819  resqrexlemcalc3  10820  resqrexlemnmsq  10821  resqrexlemnm  10822  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemglsq  10826  resqrexlemga  10827  fzomaxdiflem  10916  caubnd2  10921  amgm2  10922  icodiamlt  10984  qdenre  11006  maxabslemab  11010  maxabslemlub  11011  maxltsup  11022  bdtrilem  11042  bdtri  11043  mulcn2  11113  reccn2ap  11114  climle  11135  climsqz  11136  climsqz2  11137  climcvg1nlem  11150  fsumle  11264  cvgratnnlembern  11324  cvgratnnlemsumlt  11329  cvgratnnlemfm  11330  cvgratnnlemrate  11331  cvgratnn  11332  efltim  11441  sin01bnd  11500  sin01gt0  11504  cos12dec  11510  blss2ps  12614  blss2  12615  blssps  12635  blss  12636  ivthinclemlopn  12822  ivthinclemuopn  12824  dvcjbr  12880  reeff1oleme  12901  efltlemlt  12903  sin0pilem1  12910  tangtx  12967  cosordlem  12978  cosq34lt1  12979  cvgcmp2nlemabs  13402  trilpolemlt1  13409  trirec0  13412  apdifflemf  13414  iooref1o  13426