Theorem resubcld 8715

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8597	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   RRcr 8184   - cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  ltsubadd  8767  lesubadd  8769  ltaddsub  8771  leaddsub  8773  lesub1  8791  lesub2  8792  ltsub1  8793  ltsub2  8794  lt2sub  8795  le2sub  8796  rereim  8922  ltmul1a  8927  cru  8938  lemul1a  9196  ztri3or  9696  lincmb01cmp  10421  lincmble  10422  iccf1o  10423  rebtwn2z  10705  qbtwnrelemcalc  10706  qbtwnre  10707  intfracq  10777  modqval  10781  modqlt  10790  modqsubdir  10850  ser3le  10994  resq01  11115  expnbnd  11121  bcm1n  11228  crre  11643  remullem  11657  recvguniqlem  11781  resqrexlemover  11797  resqrexlemcalc2  11802  resqrexlemcalc3  11803  resqrexlemnmsq  11804  resqrexlemnm  11805  resqrexlemcvg  11806  resqrexlemglsq  11809  resqrexlemga  11810  fzomaxdiflem  11900  caubnd2  11905  amgm2  11906  icodiamlt  11968  qdenre  11990  maxabslemab  11994  maxabslemlub  11995  maxltsup  12006  bdtrilem  12029  bdtri  12030  mulcn2  12102  reccn2ap  12103  climle  12124  climsqz  12125  climsqz2  12126  climcvg1nlem  12139  fsumle  12254  cvgratnnlembern  12314  cvgratnnlemsumlt  12319  cvgratnnlemfm  12320  cvgratnnlemrate  12321  cvgratnn  12322  efltim  12489  sin01bnd  12548  sin01gt0  12553  cos12dec  12559  bitscmp  12749  bitsinv1lem  12752  uzwodc  12838  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem14  13084  4sqlem15  13212  ballotfilemfrcn0  13330  gzsumshift  14238  blss2ps  15649  blss2  15650  blssps  15670  blss  15671  maxcncf  15858  mincncf  15859  ivthinclemlopn  15879  ivthinclemuopn  15881  ivthreinc  15888  dvcjbr  15951  reeff1oleme  16015  efltlemlt  16017  sin0pilem1  16025  tangtx  16082  cosordlem  16094  cosq34lt1  16095  birthdaylem3  16244  pellexlem2  16247  bposlem1  16328  bposlem9  16336  gausslemma2dlem1a  16399  lgsquadlem1  16418  repiecelem  17297  cvgcmp2nlemabs  17304  iooref1o  17306  trilpolemlt1  17314  trirec0  17317  apdifflemf  17319  qdiff  17322  neap0mkv  17343