Theorem resubcld 8715

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8597	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   RRcr 8184   - cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  ltsubadd  8767  lesubadd  8769  ltaddsub  8771  leaddsub  8773  lesub1  8791  lesub2  8792  ltsub1  8793  ltsub2  8794  lt2sub  8795  le2sub  8796  rereim  8922  ltmul1a  8927  cru  8938  lemul1a  9196  ztri3or  9698  lincmb01cmp  10422  lincmble  10423  iccf1o  10424  rebtwn2z  10706  qbtwnrelemcalc  10707  qbtwnre  10708  intfracq  10778  modqval  10782  modqlt  10791  modqsubdir  10851  ser3le  10995  resq01  11116  expnbnd  11122  bcm1n  11229  crre  11644  remullem  11658  recvguniqlem  11782  resqrexlemover  11798  resqrexlemcalc2  11803  resqrexlemcalc3  11804  resqrexlemnmsq  11805  resqrexlemnm  11806  resqrexlemcvg  11807  resqrexlemglsq  11810  resqrexlemga  11811  fzomaxdiflem  11901  caubnd2  11906  amgm2  11907  icodiamlt  11969  qdenre  11991  maxabslemab  11995  maxabslemlub  11996  maxltsup  12007  bdtrilem  12030  bdtri  12031  mulcn2  12103  reccn2ap  12104  climle  12125  climsqz  12126  climsqz2  12127  climcvg1nlem  12140  fsumle  12255  cvgratnnlembern  12315  cvgratnnlemsumlt  12320  cvgratnnlemfm  12321  cvgratnnlemrate  12322  cvgratnn  12323  efltim  12490  sin01bnd  12549  sin01gt0  12554  cos12dec  12560  bitscmp  12750  bitsinv1lem  12753  uzwodc  12839  pythagtriplem12  13083  pythagtriplem14  13085  4sqlem15  13213  ballotfilemfrcn0  13331  gzsumshift  14239  blss2ps  15632  blss2  15633  blssps  15653  blss  15654  maxcncf  15841  mincncf  15842  ivthinclemlopn  15862  ivthinclemuopn  15864  ivthreinc  15871  dvcjbr  15934  reeff1oleme  15998  efltlemlt  16000  sin0pilem1  16008  tangtx  16065  cosordlem  16077  cosq34lt1  16078  birthdaylem3  16227  pellexlem2  16230  bposlem1  16311  bposlem9  16319  gausslemma2dlem1a  16382  lgsquadlem1  16401  repiecelem  17280  cvgcmp2nlemabs  17287  iooref1o  17289  trilpolemlt1  17297  trirec0  17300  apdifflemf  17302  qdiff  17305  neap0mkv  17326