Theorem resubcld 8619

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8502	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   RRcr 8091   - cmin 8409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8671  lesubadd  8673  ltaddsub  8675  leaddsub  8677  lesub1  8695  lesub2  8696  ltsub1  8697  ltsub2  8698  lt2sub  8699  le2sub  8700  rereim  8825  ltmul1a  8830  cru  8841  lemul1a  9097  ztri3or  9583  lincmb01cmp  10299  lincmble  10300  iccf1o  10301  rebtwn2z  10577  qbtwnrelemcalc  10578  qbtwnre  10579  intfracq  10645  modqval  10649  modqlt  10658  modqsubdir  10718  ser3le  10862  expnbnd  10988  crre  11497  remullem  11511  recvguniqlem  11634  resqrexlemover  11650  resqrexlemcalc2  11655  resqrexlemcalc3  11656  resqrexlemnmsq  11657  resqrexlemnm  11658  resqrexlemcvg  11659  resqrexlemglsq  11662  resqrexlemga  11663  fzomaxdiflem  11752  caubnd2  11757  amgm2  11758  icodiamlt  11820  qdenre  11842  maxabslemab  11846  maxabslemlub  11847  maxltsup  11858  bdtrilem  11879  bdtri  11880  mulcn2  11952  reccn2ap  11953  climle  11974  climsqz  11975  climsqz2  11976  climcvg1nlem  11989  fsumle  12104  cvgratnnlembern  12164  cvgratnnlemsumlt  12169  cvgratnnlemfm  12170  cvgratnnlemrate  12171  cvgratnn  12172  efltim  12339  sin01bnd  12398  sin01gt0  12403  cos12dec  12409  bitscmp  12599  bitsinv1lem  12602  uzwodc  12688  pythagtriplem12  12928  pythagtriplem14  12930  4sqlem15  13058  blss2ps  15217  blss2  15218  blssps  15238  blss  15239  maxcncf  15426  mincncf  15427  ivthinclemlopn  15447  ivthinclemuopn  15449  ivthreinc  15456  dvcjbr  15519  reeff1oleme  15583  efltlemlt  15585  sin0pilem1  15592  tangtx  15649  cosordlem  15660  cosq34lt1  15661  pellexlem2  15792  gausslemma2dlem1a  15877  lgsquadlem1  15896  repiecelem  16757  cvgcmp2nlemabs  16764  iooref1o  16766  trilpolemlt1  16773  trirec0  16776  apdifflemf  16778  qdiff  16781  neap0mkv  16802  gsumgfsumlem  16812