Theorem resubcld 8538

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8421	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   RRcr 8009   - cmin 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8590  lesubadd  8592  ltaddsub  8594  leaddsub  8596  lesub1  8614  lesub2  8615  ltsub1  8616  ltsub2  8617  lt2sub  8618  le2sub  8619  rereim  8744  ltmul1a  8749  cru  8760  lemul1a  9016  ztri3or  9500  lincmb01cmp  10211  iccf1o  10212  rebtwn2z  10486  qbtwnrelemcalc  10487  qbtwnre  10488  intfracq  10554  modqval  10558  modqlt  10567  modqsubdir  10627  ser3le  10771  expnbnd  10897  crre  11384  remullem  11398  recvguniqlem  11521  resqrexlemover  11537  resqrexlemcalc2  11542  resqrexlemcalc3  11543  resqrexlemnmsq  11544  resqrexlemnm  11545  resqrexlemcvg  11546  resqrexlemglsq  11549  resqrexlemga  11550  fzomaxdiflem  11639  caubnd2  11644  amgm2  11645  icodiamlt  11707  qdenre  11729  maxabslemab  11733  maxabslemlub  11734  maxltsup  11745  bdtrilem  11766  bdtri  11767  mulcn2  11839  reccn2ap  11840  climle  11861  climsqz  11862  climsqz2  11863  climcvg1nlem  11876  fsumle  11990  cvgratnnlembern  12050  cvgratnnlemsumlt  12055  cvgratnnlemfm  12056  cvgratnnlemrate  12057  cvgratnn  12058  efltim  12225  sin01bnd  12284  sin01gt0  12289  cos12dec  12295  bitscmp  12485  bitsinv1lem  12488  uzwodc  12574  pythagtriplem12  12814  pythagtriplem14  12816  4sqlem15  12944  blss2ps  15096  blss2  15097  blssps  15117  blss  15118  maxcncf  15305  mincncf  15306  ivthinclemlopn  15326  ivthinclemuopn  15328  ivthreinc  15335  dvcjbr  15398  reeff1oleme  15462  efltlemlt  15464  sin0pilem1  15471  tangtx  15528  cosordlem  15539  cosq34lt1  15540  gausslemma2dlem1a  15753  lgsquadlem1  15772  cvgcmp2nlemabs  16488  iooref1o  16490  trilpolemlt1  16497  trirec0  16500  apdifflemf  16502  neap0mkv  16525