Theorem resubcld 7857

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 7744	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1438  (class class class)co 5652   RRcr 7347   - cmin 7651

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7653  df-neg 7654

This theorem is referenced by:  ltsubadd  7908  lesubadd  7910  ltaddsub  7912  leaddsub  7914  lesub1  7932  lesub2  7933  ltsub1  7934  ltsub2  7935  lt2sub  7936  le2sub  7937  rereim  8061  ltmul1a  8066  cru  8077  lemul1a  8317  ztri3or  8791  lincmb01cmp  9418  iccf1o  9419  rebtwn2z  9662  qbtwnrelemcalc  9663  qbtwnre  9664  intfracq  9723  modqval  9727  modqlt  9736  modqsubdir  9796  ser3le  9949  expnbnd  10073  crre  10287  remullem  10301  recvguniqlem  10423  resqrexlemover  10439  resqrexlemcalc2  10444  resqrexlemcalc3  10445  resqrexlemnmsq  10446  resqrexlemnm  10447  resqrexlemcvg  10448  resqrexlemglsq  10451  resqrexlemga  10452  fzomaxdiflem  10541  caubnd2  10546  amgm2  10547  icodiamlt  10609  qdenre  10631  maxabslemab  10635  maxabslemlub  10636  maxltsup  10647  mulcn2  10697  climle  10718  climsqz  10719  climsqz2  10720  climcvg1nlem  10734  fsumle  10853  cvgratnnlembern  10913  cvgratnnlemsumlt  10918  cvgratnnlemfm  10919  cvgratnnlemrate  10920  cvgratnn  10921  efltim  10984  sin01bnd  11044  sin01gt0  11048