Theorem resubcld 8424

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8307	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   RRcr 7895   - cmin 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8476  lesubadd  8478  ltaddsub  8480  leaddsub  8482  lesub1  8500  lesub2  8501  ltsub1  8502  ltsub2  8503  lt2sub  8504  le2sub  8505  rereim  8630  ltmul1a  8635  cru  8646  lemul1a  8902  ztri3or  9386  lincmb01cmp  10095  iccf1o  10096  rebtwn2z  10361  qbtwnrelemcalc  10362  qbtwnre  10363  intfracq  10429  modqval  10433  modqlt  10442  modqsubdir  10502  ser3le  10646  expnbnd  10772  crre  11039  remullem  11053  recvguniqlem  11176  resqrexlemover  11192  resqrexlemcalc2  11197  resqrexlemcalc3  11198  resqrexlemnmsq  11199  resqrexlemnm  11200  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemglsq  11204  resqrexlemga  11205  fzomaxdiflem  11294  caubnd2  11299  amgm2  11300  icodiamlt  11362  qdenre  11384  maxabslemab  11388  maxabslemlub  11389  maxltsup  11400  bdtrilem  11421  bdtri  11422  mulcn2  11494  reccn2ap  11495  climle  11516  climsqz  11517  climsqz2  11518  climcvg1nlem  11531  fsumle  11645  cvgratnnlembern  11705  cvgratnnlemsumlt  11710  cvgratnnlemfm  11711  cvgratnnlemrate  11712  cvgratnn  11713  efltim  11880  sin01bnd  11939  sin01gt0  11944  cos12dec  11950  bitscmp  12140  bitsinv1lem  12143  uzwodc  12229  pythagtriplem12  12469  pythagtriplem14  12471  4sqlem15  12599  blss2ps  14726  blss2  14727  blssps  14747  blss  14748  maxcncf  14935  mincncf  14936  ivthinclemlopn  14956  ivthinclemuopn  14958  ivthreinc  14965  dvcjbr  15028  reeff1oleme  15092  efltlemlt  15094  sin0pilem1  15101  tangtx  15158  cosordlem  15169  cosq34lt1  15170  gausslemma2dlem1a  15383  lgsquadlem1  15402  cvgcmp2nlemabs  15763  iooref1o  15765  trilpolemlt1  15772  trirec0  15775  apdifflemf  15777  neap0mkv  15800