Theorem resubcld 8400

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8283	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   RRcr 7871   - cmin 8190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-neg 8193

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8451  lesubadd  8453  ltaddsub  8455  leaddsub  8457  lesub1  8475  lesub2  8476  ltsub1  8477  ltsub2  8478  lt2sub  8479  le2sub  8480  rereim  8605  ltmul1a  8610  cru  8621  lemul1a  8877  ztri3or  9360  lincmb01cmp  10069  iccf1o  10070  rebtwn2z  10323  qbtwnrelemcalc  10324  qbtwnre  10325  intfracq  10391  modqval  10395  modqlt  10404  modqsubdir  10464  ser3le  10608  expnbnd  10734  crre  11001  remullem  11015  recvguniqlem  11138  resqrexlemover  11154  resqrexlemcalc2  11159  resqrexlemcalc3  11160  resqrexlemnmsq  11161  resqrexlemnm  11162  resqrexlemcvg  11163  resqrexlemglsq  11166  resqrexlemga  11167  fzomaxdiflem  11256  caubnd2  11261  amgm2  11262  icodiamlt  11324  qdenre  11346  maxabslemab  11350  maxabslemlub  11351  maxltsup  11362  bdtrilem  11382  bdtri  11383  mulcn2  11455  reccn2ap  11456  climle  11477  climsqz  11478  climsqz2  11479  climcvg1nlem  11492  fsumle  11606  cvgratnnlembern  11666  cvgratnnlemsumlt  11671  cvgratnnlemfm  11672  cvgratnnlemrate  11673  cvgratnn  11674  efltim  11841  sin01bnd  11900  sin01gt0  11905  cos12dec  11911  uzwodc  12174  pythagtriplem12  12413  pythagtriplem14  12415  4sqlem15  12543  blss2ps  14574  blss2  14575  blssps  14595  blss  14596  maxcncf  14769  mincncf  14770  ivthinclemlopn  14790  ivthinclemuopn  14792  ivthreinc  14799  dvcjbr  14857  reeff1oleme  14907  efltlemlt  14909  sin0pilem1  14916  tangtx  14973  cosordlem  14984  cosq34lt1  14985  gausslemma2dlem1a  15174  lgsquadlem1  15191  cvgcmp2nlemabs  15522  iooref1o  15524  trilpolemlt1  15531  trirec0  15534  apdifflemf  15536  neap0mkv  15559