Theorem resubcld 8671

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8553	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   RRcr 8142   - cmin 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8723  lesubadd  8725  ltaddsub  8727  leaddsub  8729  lesub1  8747  lesub2  8748  ltsub1  8749  ltsub2  8750  lt2sub  8751  le2sub  8752  rereim  8877  ltmul1a  8882  cru  8893  lemul1a  9149  ztri3or  9637  lincmb01cmp  10355  lincmble  10356  iccf1o  10357  rebtwn2z  10638  qbtwnrelemcalc  10639  qbtwnre  10640  intfracq  10706  modqval  10710  modqlt  10719  modqsubdir  10779  ser3le  10923  resq01  11044  expnbnd  11050  bcm1n  11156  crre  11567  remullem  11581  recvguniqlem  11704  resqrexlemover  11720  resqrexlemcalc2  11725  resqrexlemcalc3  11726  resqrexlemnmsq  11727  resqrexlemnm  11728  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemglsq  11732  resqrexlemga  11733  fzomaxdiflem  11822  caubnd2  11827  amgm2  11828  icodiamlt  11890  qdenre  11912  maxabslemab  11916  maxabslemlub  11917  maxltsup  11928  bdtrilem  11949  bdtri  11950  mulcn2  12022  reccn2ap  12023  climle  12044  climsqz  12045  climsqz2  12046  climcvg1nlem  12059  fsumle  12174  cvgratnnlembern  12234  cvgratnnlemsumlt  12239  cvgratnnlemfm  12240  cvgratnnlemrate  12241  cvgratnn  12242  efltim  12409  sin01bnd  12468  sin01gt0  12473  cos12dec  12479  bitscmp  12669  bitsinv1lem  12672  uzwodc  12758  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem14  13000  4sqlem15  13128  ballotfilemfrcn0  13217  gsumshift  14105  blss2ps  15397  blss2  15398  blssps  15418  blss  15419  maxcncf  15606  mincncf  15607  ivthinclemlopn  15627  ivthinclemuopn  15629  ivthreinc  15636  dvcjbr  15699  reeff1oleme  15763  efltlemlt  15765  sin0pilem1  15772  tangtx  15829  cosordlem  15840  cosq34lt1  15841  pellexlem2  15972  gausslemma2dlem1a  16057  lgsquadlem1  16076  repiecelem  16935  cvgcmp2nlemabs  16942  iooref1o  16944  trilpolemlt1  16951  trirec0  16954  apdifflemf  16956  qdiff  16959  neap0mkv  16981