ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resubcld Unicode version

Theorem resubcld 8402
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resubcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resubcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resubcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 resubcl 8285 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 411 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2164  (class class class)co 5919   RRcr 7873    - cmin 8192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-neg 8195
This theorem is referenced by:  ltsubadd  8453  lesubadd  8455  ltaddsub  8457  leaddsub  8459  lesub1  8477  lesub2  8478  ltsub1  8479  ltsub2  8480  lt2sub  8481  le2sub  8482  rereim  8607  ltmul1a  8612  cru  8623  lemul1a  8879  ztri3or  9363  lincmb01cmp  10072  iccf1o  10073  rebtwn2z  10326  qbtwnrelemcalc  10327  qbtwnre  10328  intfracq  10394  modqval  10398  modqlt  10407  modqsubdir  10467  ser3le  10611  expnbnd  10737  crre  11004  remullem  11018  recvguniqlem  11141  resqrexlemover  11157  resqrexlemcalc2  11162  resqrexlemcalc3  11163  resqrexlemnmsq  11164  resqrexlemnm  11165  resqrexlemcvg  11166  resqrexlemglsq  11169  resqrexlemga  11170  fzomaxdiflem  11259  caubnd2  11264  amgm2  11265  icodiamlt  11327  qdenre  11349  maxabslemab  11353  maxabslemlub  11354  maxltsup  11365  bdtrilem  11385  bdtri  11386  mulcn2  11458  reccn2ap  11459  climle  11480  climsqz  11481  climsqz2  11482  climcvg1nlem  11495  fsumle  11609  cvgratnnlembern  11669  cvgratnnlemsumlt  11674  cvgratnnlemfm  11675  cvgratnnlemrate  11676  cvgratnn  11677  efltim  11844  sin01bnd  11903  sin01gt0  11908  cos12dec  11914  uzwodc  12177  pythagtriplem12  12416  pythagtriplem14  12418  4sqlem15  12546  blss2ps  14585  blss2  14586  blssps  14606  blss  14607  maxcncf  14794  mincncf  14795  ivthinclemlopn  14815  ivthinclemuopn  14817  ivthreinc  14824  dvcjbr  14887  reeff1oleme  14948  efltlemlt  14950  sin0pilem1  14957  tangtx  15014  cosordlem  15025  cosq34lt1  15026  gausslemma2dlem1a  15215  lgsquadlem1  15234  cvgcmp2nlemabs  15592  iooref1o  15594  trilpolemlt1  15601  trirec0  15604  apdifflemf  15606  neap0mkv  15629
  Copyright terms: Public domain W3C validator