Theorem resubcld 8709

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8591	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   RRcr 8178   - cmin 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8500  df-neg 8501

This theorem is used by:  ltsubadd  8761  lesubadd  8763  ltaddsub  8765  leaddsub  8767  lesub1  8785  lesub2  8786  ltsub1  8787  ltsub2  8788  lt2sub  8789  le2sub  8790  rereim  8916  ltmul1a  8921  cru  8932  lemul1a  9190  ztri3or  9691  lincmb01cmp  10415  lincmble  10416  iccf1o  10417  rebtwn2z  10699  qbtwnrelemcalc  10700  qbtwnre  10701  intfracq  10770  modqval  10774  modqlt  10783  modqsubdir  10843  ser3le  10987  resq01  11108  expnbnd  11114  bcm1n  11221  crre  11636  remullem  11650  recvguniqlem  11774  resqrexlemover  11790  resqrexlemcalc2  11795  resqrexlemcalc3  11796  resqrexlemnmsq  11797  resqrexlemnm  11798  resqrexlemcvg  11799  resqrexlemglsq  11802  resqrexlemga  11803  fzomaxdiflem  11893  caubnd2  11898  amgm2  11899  icodiamlt  11961  qdenre  11983  maxabslemab  11987  maxabslemlub  11988  maxltsup  11999  bdtrilem  12021  bdtri  12022  mulcn2  12094  reccn2ap  12095  climle  12116  climsqz  12117  climsqz2  12118  climcvg1nlem  12131  fsumle  12246  cvgratnnlembern  12306  cvgratnnlemsumlt  12311  cvgratnnlemfm  12312  cvgratnnlemrate  12313  cvgratnn  12314  efltim  12481  sin01bnd  12540  sin01gt0  12545  cos12dec  12551  bitscmp  12741  bitsinv1lem  12744  uzwodc  12830  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem14  13076  4sqlem15  13204  ballotfilemfrcn0  13322  gzsumshift  14198  blss2ps  15556  blss2  15557  blssps  15577  blss  15578  maxcncf  15765  mincncf  15766  ivthinclemlopn  15786  ivthinclemuopn  15788  ivthreinc  15795  dvcjbr  15858  reeff1oleme  15922  efltlemlt  15924  sin0pilem1  15932  tangtx  15989  cosordlem  16000  cosq34lt1  16001  birthdaylem3  16146  pellexlem2  16149  bposlem1  16209  gausslemma2dlem1a  16275  lgsquadlem1  16294  repiecelem  17172  cvgcmp2nlemabs  17179  iooref1o  17181  trilpolemlt1  17188  trirec0  17191  apdifflemf  17193  qdiff  17196  neap0mkv  17217