Theorem resubcld 8560

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 8443	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   RRcr 8031   - cmin 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352  df-neg 8353

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8612  lesubadd  8614  ltaddsub  8616  leaddsub  8618  lesub1  8636  lesub2  8637  ltsub1  8638  ltsub2  8639  lt2sub  8640  le2sub  8641  rereim  8766  ltmul1a  8771  cru  8782  lemul1a  9038  ztri3or  9522  lincmb01cmp  10238  iccf1o  10239  rebtwn2z  10515  qbtwnrelemcalc  10516  qbtwnre  10517  intfracq  10583  modqval  10587  modqlt  10596  modqsubdir  10656  ser3le  10800  expnbnd  10926  crre  11419  remullem  11433  recvguniqlem  11556  resqrexlemover  11572  resqrexlemcalc2  11577  resqrexlemcalc3  11578  resqrexlemnmsq  11579  resqrexlemnm  11580  resqrexlemcvg  11581  resqrexlemglsq  11584  resqrexlemga  11585  fzomaxdiflem  11674  caubnd2  11679  amgm2  11680  icodiamlt  11742  qdenre  11764  maxabslemab  11768  maxabslemlub  11769  maxltsup  11780  bdtrilem  11801  bdtri  11802  mulcn2  11874  reccn2ap  11875  climle  11896  climsqz  11897  climsqz2  11898  climcvg1nlem  11911  fsumle  12026  cvgratnnlembern  12086  cvgratnnlemsumlt  12091  cvgratnnlemfm  12092  cvgratnnlemrate  12093  cvgratnn  12094  efltim  12261  sin01bnd  12320  sin01gt0  12325  cos12dec  12331  bitscmp  12521  bitsinv1lem  12524  uzwodc  12610  pythagtriplem12  12850  pythagtriplem14  12852  4sqlem15  12980  blss2ps  15133  blss2  15134  blssps  15154  blss  15155  maxcncf  15342  mincncf  15343  ivthinclemlopn  15363  ivthinclemuopn  15365  ivthreinc  15372  dvcjbr  15435  reeff1oleme  15499  efltlemlt  15501  sin0pilem1  15508  tangtx  15565  cosordlem  15576  cosq34lt1  15577  gausslemma2dlem1a  15790  lgsquadlem1  15809  cvgcmp2nlemabs  16657  iooref1o  16659  trilpolemlt1  16666  trirec0  16669  apdifflemf  16671  neap0mkv  16694  gsumgfsumlem  16704