Theorem lspsneq0b 14736

Description: Equal singleton spans imply both arguments are zero or both are nonzero. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0b.v	|- V = ( Base ` W )
lspsneq0b.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lspsneq0b.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsneq0b.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsneq0b.x	|- ( ph -> X e. V )
lspsneq0b.y	|- ( ph -> Y e. V )
lspsneq0b.e	|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0b	|- ( ph -> ( X = .0. <-> Y = .0. ) )

Proof of Theorem lspsneq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0b.e	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
3		lspsneq0b.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
4		lspsneq0b.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
5		lspsneq0b.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
6		lspsneq0b.o	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
7		lspsneq0b.n	. . . . . . 7 |- N = ( LSpan ` W )
8	5, 6, 7	lspsneq0 14735	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )
10	9	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( N ` { X } ) = { .0. } )
11	2, 10	eqtr3d 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( N ` { Y } ) = { .0. } )
12		lspsneq0b.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
13	5, 6, 7	lspsneq0 14735	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( N ` { Y } ) = { .0. } <-> Y = .0. ) )
14	3, 12, 13	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` { Y } ) = { .0. } <-> Y = .0. ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( ( N ` { Y } ) = { .0. } <-> Y = .0. ) )
16	11, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> Y = .0. )
17	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
18	14	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( N ` { Y } ) = { .0. } )
19	17, 18	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( N ` { X } ) = { .0. } )
20	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )
21	19, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> X = .0. )
22	16, 21	impbida 604	1 |- ( ph -> ( X = .0. <-> Y = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3705   ` cfv 5372   Basecbs 13330   0gc0g 13587   LModclmod 14596   LSpanclspn 14695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-mgp 14195  df-ring 14276  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696

This theorem is referenced by: (None)