Theorem lspsneq0b 14264

Description: Equal singleton spans imply both arguments are zero or both are nonzero. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0b.v	|- V = ( Base ` W )
lspsneq0b.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lspsneq0b.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsneq0b.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsneq0b.x	|- ( ph -> X e. V )
lspsneq0b.y	|- ( ph -> Y e. V )
lspsneq0b.e	|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0b	|- ( ph -> ( X = .0. <-> Y = .0. ) )

Proof of Theorem lspsneq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0b.e	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
3		lspsneq0b.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
4		lspsneq0b.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
5		lspsneq0b.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
6		lspsneq0b.o	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
7		lspsneq0b.n	. . . . . . 7 |- N = ( LSpan ` W )
8	5, 6, 7	lspsneq0 14263	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )
10	9	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( N ` { X } ) = { .0. } )
11	2, 10	eqtr3d 2241	. . 3 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( N ` { Y } ) = { .0. } )
12		lspsneq0b.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
13	5, 6, 7	lspsneq0 14263	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( N ` { Y } ) = { .0. } <-> Y = .0. ) )
14	3, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` { Y } ) = { .0. } <-> Y = .0. ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( ( N ` { Y } ) = { .0. } <-> Y = .0. ) )
16	11, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> Y = .0. )
17	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
18	14	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( N ` { Y } ) = { .0. } )
19	17, 18	eqtrd 2239	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( N ` { X } ) = { .0. } )
20	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )
21	19, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> X = .0. )
22	16, 21	impbida 596	1 |- ( ph -> ( X = .0. <-> Y = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   {csn 3638   ` cfv 5280   Basecbs 12907   0gc0g 13163   LModclmod 14124   LSpanclspn 14223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-mgp 13758  df-ring 13835  df-lmod 14126  df-lssm 14190  df-lsp 14224

This theorem is referenced by: (None)