Theorem lspsneq0b 14873

Description: Equal singleton spans imply both arguments are zero or both are nonzero. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0b.v	|- V = ( Base ` W )
lspsneq0b.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lspsneq0b.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsneq0b.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsneq0b.x	|- ( ph -> X e. V )
lspsneq0b.y	|- ( ph -> Y e. V )
lspsneq0b.e	|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0b	|- ( ph -> ( X = .0. <-> Y = .0. ) )

Proof of Theorem lspsneq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0b.e	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
3		lspsneq0b.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
4		lspsneq0b.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
5		lspsneq0b.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
6		lspsneq0b.o	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
7		lspsneq0b.n	. . . . . . 7 |- N = ( LSpan ` W )
8	5, 6, 7	lspsneq0 14872	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )
10	9	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( N ` { X } ) = { .0. } )
11	2, 10	eqtr3d 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( N ` { Y } ) = { .0. } )
12		lspsneq0b.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
13	5, 6, 7	lspsneq0 14872	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( N ` { Y } ) = { .0. } <-> Y = .0. ) )
14	3, 12, 13	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` { Y } ) = { .0. } <-> Y = .0. ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> ( ( N ` { Y } ) = { .0. } <-> Y = .0. ) )
16	11, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( ph /\ X = .0. ) -> Y = .0. )
17	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
18	14	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( N ` { Y } ) = { .0. } )
19	17, 18	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( N ` { X } ) = { .0. } )
20	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )
21	19, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> X = .0. )
22	16, 21	impbida 604	1 |- ( ph -> ( X = .0. <-> Y = .0. ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   ` cfv 5380   Basecbs 13410   0gc0g 13669   LModclmod 14732   LSpanclspn 14832

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-mgp 14325  df-ring 14409  df-lmod 14734  df-lssm 14799  df-lsp 14833

This theorem is used by: (None)