Theorem lmodindp1 14524

Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodindp1.v	|- V = ( Base ` W )
lmodindp1.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodindp1.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lmodindp1.n	|- N = ( LSpan ` W )
lmodindp1.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodindp1.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodindp1.y	|- ( ph -> Y e. V )
lmodindp1.q	|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lmodindp1	|- ( ph -> ( X .+ Y ) =/= .0. )

Proof of Theorem lmodindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodindp1.q	. 2 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
2		lmodindp1.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
3		lmodindp1.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. V )
4		lmodindp1.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
6		lmodindp1.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( LSpan ` W )
7	4, 5, 6	lspsnneg 14516	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )
9	8	eqcomd 2237	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) )
11		lmodgrp 14390	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
12	2, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. Grp )
13		lmodindp1.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. V )
14		lmodindp1.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` W )
15		lmodindp1.o	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` W )
16	4, 14, 15, 5	grpinvid1 13715	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` W ) ` X ) = Y <-> ( X .+ Y ) = .0. ) )
17	12, 3, 13, 16	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( invg ` W ) ` X ) = Y <-> ( X .+ Y ) = .0. ) )
18	17	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( ( invg ` W ) ` X ) = Y )
19	18	sneqd 3686	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> { ( ( invg ` W ) ` X ) } = { Y } )
20	19	fveq2d 5652	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) = ( N ` { Y } ) )
21	10, 20	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
22	21	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) = .0. -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) )
23	22	necon3d 2447	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) -> ( X .+ Y ) =/= .0. ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) =/= .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   {csn 3673   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   Grpcgrp 13663   invgcminusg 13664   LModclmod 14383   LSpanclspn 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-sca 13256  df-vsca 13257  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-sbg 13668  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092  df-lmod 14385  df-lssm 14449  df-lsp 14483

This theorem is referenced by: (None)