Theorem lmodindp1 13711

Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodindp1.v	|- V = ( Base ` W )
lmodindp1.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodindp1.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lmodindp1.n	|- N = ( LSpan ` W )
lmodindp1.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodindp1.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodindp1.y	|- ( ph -> Y e. V )
lmodindp1.q	|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lmodindp1	|- ( ph -> ( X .+ Y ) =/= .0. )

Proof of Theorem lmodindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodindp1.q	. 2 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
2		lmodindp1.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
3		lmodindp1.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. V )
4		lmodindp1.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2189	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
6		lmodindp1.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( LSpan ` W )
7	4, 5, 6	lspsnneg 13703	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )
9	8	eqcomd 2195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) )
11		lmodgrp 13577	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
12	2, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. Grp )
13		lmodindp1.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. V )
14		lmodindp1.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` W )
15		lmodindp1.o	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` W )
16	4, 14, 15, 5	grpinvid1 12968	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` W ) ` X ) = Y <-> ( X .+ Y ) = .0. ) )
17	12, 3, 13, 16	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( invg ` W ) ` X ) = Y <-> ( X .+ Y ) = .0. ) )
18	17	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( ( invg ` W ) ` X ) = Y )
19	18	sneqd 3620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> { ( ( invg ` W ) ` X ) } = { Y } )
20	19	fveq2d 5534	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) = ( N ` { Y } ) )
21	10, 20	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
22	21	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) = .0. -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) )
23	22	necon3d 2404	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) -> ( X .+ Y ) =/= .0. ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) =/= .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   {csn 3607   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12486   +g cplusg 12561   0gc0g 12733   Grpcgrp 12917   invgcminusg 12918   LModclmod 13570   LSpanclspn 13669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-5 9000  df-6 9001  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-sca 12577  df-vsca 12578  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-sbg 12922  df-mgp 13242  df-ur 13281  df-ring 13319  df-lmod 13572  df-lssm 13636  df-lsp 13670

This theorem is referenced by: (None)