Theorem lmodindp1 13927

Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodindp1.v	|- V = ( Base ` W )
lmodindp1.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodindp1.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lmodindp1.n	|- N = ( LSpan ` W )
lmodindp1.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodindp1.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodindp1.y	|- ( ph -> Y e. V )
lmodindp1.q	|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lmodindp1	|- ( ph -> ( X .+ Y ) =/= .0. )

Proof of Theorem lmodindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodindp1.q	. 2 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
2		lmodindp1.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
3		lmodindp1.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. V )
4		lmodindp1.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
6		lmodindp1.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( LSpan ` W )
7	4, 5, 6	lspsnneg 13919	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )
9	8	eqcomd 2199	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) )
11		lmodgrp 13793	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
12	2, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. Grp )
13		lmodindp1.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. V )
14		lmodindp1.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` W )
15		lmodindp1.o	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` W )
16	4, 14, 15, 5	grpinvid1 13127	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` W ) ` X ) = Y <-> ( X .+ Y ) = .0. ) )
17	12, 3, 13, 16	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( invg ` W ) ` X ) = Y <-> ( X .+ Y ) = .0. ) )
18	17	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( ( invg ` W ) ` X ) = Y )
19	18	sneqd 3632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> { ( ( invg ` W ) ` X ) } = { Y } )
20	19	fveq2d 5559	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` X ) } ) = ( N ` { Y } ) )
21	10, 20	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
22	21	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) = .0. -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) )
23	22	necon3d 2408	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) -> ( X .+ Y ) =/= .0. ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) =/= .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   {csn 3619   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076   LModclmod 13786   LSpanclspn 13885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-lmod 13788  df-lssm 13852  df-lsp 13886

This theorem is referenced by: (None)