Theorem lspsneq0b 14506

Description: Equal singleton spans imply both arguments are zero or both are nonzero. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq0b.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneq0b.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq0b.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsneq0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneq0b.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsneq0b.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0b	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem lspsneq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0b.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3		lspsneq0b.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsneq0b.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspsneq0b.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspsneq0b.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspsneq0b.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	5, 6, 7	lspsneq0 14505	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
10	9	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
11	2, 10	eqtr3d 2266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = { 0 })
12		lspsneq0b.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13	5, 6, 7	lspsneq0 14505	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
14	3, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
16	11, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑌 = 0 )
17	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
18	14	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = { 0 })
19	17, 18	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
20	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
21	19, 20	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → 𝑋 = 0 )
22	16, 21	impbida 600	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {csn 3673  ‘cfv 5333  Basecbs 13145  0_gc0g 13402  LModclmod 14366  LSpanclspn 14465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-mgp 13998  df-ring 14075  df-lmod 14368  df-lssm 14432  df-lsp 14466

This theorem is referenced by: (None)