Theorem lspsneq0b 13923

Description: Equal singleton spans imply both arguments are zero or both are nonzero. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq0b.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneq0b.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq0b.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsneq0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneq0b.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsneq0b.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0b	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem lspsneq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0b.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3		lspsneq0b.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsneq0b.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspsneq0b.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspsneq0b.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspsneq0b.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	5, 6, 7	lspsneq0 13922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
10	9	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
11	2, 10	eqtr3d 2228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = { 0 })
12		lspsneq0b.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13	5, 6, 7	lspsneq0 13922	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
14	3, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
16	11, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑌 = 0 )
17	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
18	14	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = { 0 })
19	17, 18	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
20	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
21	19, 20	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → 𝑋 = 0 )
22	16, 21	impbida 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {csn 3618  ‘cfv 5254  Basecbs 12618  0_gc0g 12867  LModclmod 13783  LSpanclspn 13882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-mgp 13417  df-ring 13494  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883

This theorem is referenced by: (None)