ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspsneq0b GIF version

Theorem lspsneq0b 13704
Description: Equal singleton spans imply both arguments are zero or both are nonzero. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq0b.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsneq0b.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsneq0b.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsneq0b.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspsneq0b.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneq0b.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspsneq0b.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspsneq0b (πœ‘ β†’ (𝑋 = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))

Proof of Theorem lspsneq0b
StepHypRef Expression
1 lspsneq0b.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
21adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3 lspsneq0b.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspsneq0b.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5 lspsneq0b.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lspsneq0b.o . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
7 lspsneq0b.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
85, 6, 7lspsneq0 13703 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
93, 4, 8syl2anc 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
109biimpar 297 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 })
112, 10eqtr3d 2224 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = { 0 })
12 lspsneq0b.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
135, 6, 7lspsneq0 13703 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) = { 0 } ↔ π‘Œ = 0 ))
143, 12, 13syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) = { 0 } ↔ π‘Œ = 0 ))
1514adantr 276 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) = { 0 } ↔ π‘Œ = 0 ))
1611, 15mpbid 147 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ π‘Œ = 0 )
171adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
1814biimpar 297 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = { 0 })
1917, 18eqtrd 2222 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 })
209adantr 276 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 0 ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
2119, 20mpbid 147 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 0 ) β†’ 𝑋 = 0 )
2216, 21impbida 596 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {csn 3607  β€˜cfv 5231  Basecbs 12480  0gc0g 12727  LModclmod 13564  LSpanclspn 13663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-sets 12487  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-sca 12571  df-vsca 12572  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-mgp 13236  df-ring 13313  df-lmod 13566  df-lssm 13630  df-lsp 13664
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator