Theorem fzonn0p1p1 10233

Description: If a nonnegative integer is element of a half-open range of nonnegative integers, increasing this integer by one results in an element of a half- open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzonn0p1p1	|- ( I e. ( 0..^ N ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )

Proof of Theorem fzonn0p1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10202	. 2 |- ( I e. ( 0..^ N ) <-> ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) )
2		peano2nn0 9236	. . . 4 |- ( I e. NN0 -> ( I + 1 ) e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( I + 1 ) e. NN0 )
4		peano2nn 8951	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
5	4	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( N + 1 ) e. NN )
6		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> I < N )
7		nn0re 9205	. . . . 5 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
8		nnre 8946	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9		1red 7992	. . . . 5 |- ( I < N -> 1 e. RR )
10		ltadd1 8406	. . . . 5 |- ( ( I e. RR /\ N e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( I < N <-> ( I + 1 ) < ( N + 1 ) ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3an 1291	. . . 4 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( I < N <-> ( I + 1 ) < ( N + 1 ) ) )
12	6, 11	mpbid 147	. . 3 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( I + 1 ) < ( N + 1 ) )
13		elfzo0 10202	. . 3 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) <-> ( ( I + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. NN /\ ( I + 1 ) < ( N + 1 ) ) )
14	3, 5, 12, 13	syl3anbrc 1183	. 2 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
15	1, 14	sylbi 121	1 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   RRcr 7830   0cc0 7831   1c1 7832   + caddc 7834   < clt 8012   NNcn 8939   NN0cn0 9196  ..^cfzo 10162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-fz 10029  df-fzo 10163

This theorem is referenced by: (None)