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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > addltmul | Unicode version |
Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.) |
Ref | Expression |
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addltmul |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 2re 8991 |
. . . . . . 7
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2 | 1re 7958 |
. . . . . . 7
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3 | ltsub1 8417 |
. . . . . . 7
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4 | 1, 2, 3 | mp3an13 1328 |
. . . . . 6
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5 | 2m1e1 9039 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | breq1i 4012 |
. . . . . 6
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7 | 4, 6 | bitrdi 196 |
. . . . 5
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8 | ltsub1 8417 |
. . . . . . 7
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9 | 1, 2, 8 | mp3an13 1328 |
. . . . . 6
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10 | 5 | breq1i 4012 |
. . . . . 6
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11 | 9, 10 | bitrdi 196 |
. . . . 5
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12 | 7, 11 | bi2anan9 606 |
. . . 4
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13 | peano2rem 8226 |
. . . . 5
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14 | peano2rem 8226 |
. . . . 5
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15 | mulgt1 8822 |
. . . . . 6
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16 | 15 | ex 115 |
. . . . 5
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17 | 13, 14, 16 | syl2an 289 |
. . . 4
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18 | 12, 17 | sylbid 150 |
. . 3
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19 | recn 7946 |
. . . . . 6
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20 | recn 7946 |
. . . . . 6
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21 | ax-1cn 7906 |
. . . . . . 7
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22 | mulsub 8360 |
. . . . . . . 8
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23 | 21, 22 | mpanl2 435 |
. . . . . . 7
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24 | 21, 23 | mpanr2 438 |
. . . . . 6
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25 | 19, 20, 24 | syl2an 289 |
. . . . 5
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26 | 25 | breq2d 4017 |
. . . 4
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27 | remulcl 7941 |
. . . . . . . 8
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28 | 2, 27 | mpan2 425 |
. . . . . . 7
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29 | remulcl 7941 |
. . . . . . . 8
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30 | 2, 29 | mpan2 425 |
. . . . . . 7
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31 | readdcl 7939 |
. . . . . . 7
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32 | 28, 30, 31 | syl2an 289 |
. . . . . 6
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33 | remulcl 7941 |
. . . . . . 7
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34 | 2, 2 | remulcli 7973 |
. . . . . . 7
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35 | readdcl 7939 |
. . . . . . 7
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36 | 33, 34, 35 | sylancl 413 |
. . . . . 6
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37 | ltaddsub2 8396 |
. . . . . . 7
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38 | 2, 37 | mp3an2 1325 |
. . . . . 6
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39 | 32, 36, 38 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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40 | 1t1e1 9073 |
. . . . . . 7
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41 | 40 | oveq2i 5888 |
. . . . . 6
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42 | 41 | breq2i 4013 |
. . . . 5
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43 | 39, 42 | bitr3di 195 |
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44 | ltadd1 8388 |
. . . . . . 7
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45 | 2, 44 | mp3an3 1326 |
. . . . . 6
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46 | 32, 33, 45 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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47 | ax-1rid 7920 |
. . . . . . 7
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48 | ax-1rid 7920 |
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49 | 47, 48 | oveqan12d 5896 |
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50 | 49 | breq1d 4015 |
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51 | 46, 50 | bitr3d 190 |
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52 | 26, 43, 51 | 3bitrd 214 |
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53 | 18, 52 | sylibd 149 |
. 2
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54 | 53 | imp 124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-br 4006 df-opab 4067 df-id 4295 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-ltxr 7999 df-sub 8132 df-neg 8133 df-2 8980 |
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