ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reapadd1 Unicode version

Theorem reapadd1 8566
Description: Real addition respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
reapadd1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A #  B  <->  ( A  +  C ) #  ( B  +  C ) ) )

Proof of Theorem reapadd1
StepHypRef Expression
1 ltadd1 8399 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  C )  <  ( B  +  C )
) )
2 ltadd1 8399 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  C )  <  ( A  +  C )
) )
323com12 1208 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  C )  <  ( A  +  C )
) )
41, 3orbi12d 794 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  \/  B  <  A )  <-> 
( ( A  +  C )  <  ( B  +  C )  \/  ( B  +  C
)  <  ( A  +  C ) ) ) )
5 reaplt 8558 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A #  B  <->  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) ) )
653adant3 1018 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A #  B  <->  ( A  < 
B  \/  B  < 
A ) ) )
7 simp1 998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
8 simp3 1000 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
97, 8readdcld 8000 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  +  C )  e.  RR )
10 simp2 999 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
1110, 8readdcld 8000 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
12 reaplt 8558 . . 3  |-  ( ( ( A  +  C
)  e.  RR  /\  ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  ( ( A  +  C ) #  ( B  +  C )  <-> 
( ( A  +  C )  <  ( B  +  C )  \/  ( B  +  C
)  <  ( A  +  C ) ) ) )
139, 11, 12syl2anc 411 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  C
) #  ( B  +  C )  <->  ( ( A  +  C )  <  ( B  +  C
)  \/  ( B  +  C )  < 
( A  +  C
) ) ) )
144, 6, 133bitr4d 220 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A #  B  <->  ( A  +  C ) #  ( B  +  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    \/ wo 709    /\ w3a 979    e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7823    + caddc 7827    < clt 8005   # cap 8551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552
This theorem is referenced by:  apadd1  8578
  Copyright terms: Public domain W3C validator