Theorem resqrexlemdec 11777

Description: Lemma for resqrex 11792. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdec	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11775	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) )
5	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11773	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
7	6	ffvelcdmda 5843	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
8	5, 7	rerpdivcld 10129	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. RR )
9	7	rpred 10097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
10	1, 2, 3	resqrexlemover 11776	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
11	7	rpcnd 10099	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
12	11	sqvald 11108	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) = ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) )
13	10, 12	breqtrd 4156	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) )
14	5, 9, 7	ltdivmuld 10149	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) < ( F ` N ) <-> A < ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) ) )
15	13, 14	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) < ( F ` N ) )
16	8, 9, 9, 15	ltadd2dd 8750	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` N ) ) )
17	11	2timesd 9548	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( F ` N ) ) = ( ( F ` N ) + ( F ` N ) ) )
18	16, 17	breqtrrd 4158	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( 2 x. ( F ` N ) ) )
19	9, 8	readdcld 8355	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. RR )
20		2rp 10059	. . . . 5 |- 2 e. RR+
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. RR+ )
22	19, 9, 21	ltdivmuld 10149	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( 2 x. ( F ` N ) ) ) )
23	18, 22	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) < ( F ` N ) )
24	4, 23	eqbrtrd 4152	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   RR+crp 10054   seqcseq 10884   ^cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976

This theorem is used by:  resqrexlemdecn  11778