ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemdec Unicode version

Theorem resqrexlemdec 10962
Description: Lemma for resqrex 10977. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemdec  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  < 
( F `  N
) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdec
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemfp1 10960 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) )  /  2
) )
52adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
61, 2, 3resqrexlemf 10958 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
76ffvelrnda 5628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
85, 7rerpdivcld 9672 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  RR )
97rpred 9640 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
101, 2, 3resqrexlemover 10961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
117rpcnd 9642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
1211sqvald 10593 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  =  ( ( F `  N )  x.  ( F `  N )
) )
1310, 12breqtrd 4013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N )  x.  ( F `  N )
) )
145, 9, 7ltdivmuld 9692 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) )  <  ( F `  N )  <->  A  <  ( ( F `  N
)  x.  ( F `
 N ) ) ) )
1513, 14mpbird 166 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  < 
( F `  N
) )
168, 9, 9, 15ltadd2dd 8328 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  < 
( ( F `  N )  +  ( F `  N ) ) )
17112timesd 9107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( F `  N ) )  =  ( ( F `  N )  +  ( F `  N ) ) )
1816, 17breqtrrd 4015 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  < 
( 2  x.  ( F `  N )
) )
199, 8readdcld 7936 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  RR )
20 2rp 9602 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
2120a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
2219, 9, 21ltdivmuld 9692 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) )  /  2 )  <  ( F `  N )  <->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  < 
( 2  x.  ( F `  N )
) ) )
2318, 22mpbird 166 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) )  /  2 )  < 
( F `  N
) )
244, 23eqbrtrd 4009 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  < 
( F `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   {csn 3581   class class class wbr 3987    X. cxp 4607   ` cfv 5196  (class class class)co 5850    e. cmpo 5852   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762    + caddc 7764    x. cmul 7766    < clt 7941    <_ cle 7942    / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   RR+crp 9597    seqcseq 10388   ^cexp 10462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-rp 9598  df-seqfrec 10389  df-exp 10463
This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  10963
  Copyright terms: Public domain W3C validator