Theorem resqrexlemdec 11052

Description: Lemma for resqrex 11067. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdec	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11050	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) )
5	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11048	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
7	6	ffvelcdmda 5672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
8	5, 7	rerpdivcld 9758	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. RR )
9	7	rpred 9726	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
10	1, 2, 3	resqrexlemover 11051	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
11	7	rpcnd 9728	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
12	11	sqvald 10682	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) = ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) )
13	10, 12	breqtrd 4044	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) )
14	5, 9, 7	ltdivmuld 9778	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) < ( F ` N ) <-> A < ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) ) )
15	13, 14	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) < ( F ` N ) )
16	8, 9, 9, 15	ltadd2dd 8409	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` N ) ) )
17	11	2timesd 9191	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( F ` N ) ) = ( ( F ` N ) + ( F ` N ) ) )
18	16, 17	breqtrrd 4046	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( 2 x. ( F ` N ) ) )
19	9, 8	readdcld 8017	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. RR )
20		2rp 9688	. . . . 5 |- 2 e. RR+
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. RR+ )
22	19, 9, 21	ltdivmuld 9778	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( 2 x. ( F ` N ) ) ) )
23	18, 22	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) < ( F ` N ) )
24	4, 23	eqbrtrd 4040	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {csn 3607   class class class wbr 4018   X. cxp 4642   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   e. cmpo 5898   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842   + caddc 7844   x. cmul 7846   < clt 8022   <_ cle 8023   / cdiv 8659   NNcn 8949   2c2 9000   RR+crp 9683   seqcseq 10476   ^cexp 10550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551

This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  11053