Theorem resqrexlemdec 10783

Description: Lemma for resqrex 10798. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdec	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 10781	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) )
5	2	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
6	1, 2, 3	resqrexlemf 10779	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
7	6	ffvelrnda 5555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
8	5, 7	rerpdivcld 9515	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. RR )
9	7	rpred 9483	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
10	1, 2, 3	resqrexlemover 10782	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
11	7	rpcnd 9485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
12	11	sqvald 10421	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) = ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) )
13	10, 12	breqtrd 3954	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) )
14	5, 9, 7	ltdivmuld 9535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) < ( F ` N ) <-> A < ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) ) )
15	13, 14	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) < ( F ` N ) )
16	8, 9, 9, 15	ltadd2dd 8184	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` N ) ) )
17	11	2timesd 8962	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( F ` N ) ) = ( ( F ` N ) + ( F ` N ) ) )
18	16, 17	breqtrrd 3956	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( 2 x. ( F ` N ) ) )
19	9, 8	readdcld 7795	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. RR )
20		2rp 9446	. . . . 5 |- 2 e. RR+
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. RR+ )
22	19, 9, 21	ltdivmuld 9535	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( 2 x. ( F ` N ) ) ) )
23	18, 22	mpbird 166	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) < ( F ` N ) )
24	4, 23	eqbrtrd 3950	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3527   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   RR+crp 9441   seqcseq 10218   ^cexp 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293

This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  10784