Theorem resqrexlemdec 10815

Description: Lemma for resqrex 10830. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdec	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 10813	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) )
5	2	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
6	1, 2, 3	resqrexlemf 10811	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
7	6	ffvelrnda 5563	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
8	5, 7	rerpdivcld 9545	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. RR )
9	7	rpred 9513	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
10	1, 2, 3	resqrexlemover 10814	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
11	7	rpcnd 9515	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
12	11	sqvald 10452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) = ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) )
13	10, 12	breqtrd 3962	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) )
14	5, 9, 7	ltdivmuld 9565	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) < ( F ` N ) <-> A < ( ( F ` N ) x. ( F ` N ) ) ) )
15	13, 14	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) < ( F ` N ) )
16	8, 9, 9, 15	ltadd2dd 8208	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` N ) ) )
17	11	2timesd 8986	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( F ` N ) ) = ( ( F ` N ) + ( F ` N ) ) )
18	16, 17	breqtrrd 3964	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( 2 x. ( F ` N ) ) )
19	9, 8	readdcld 7819	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. RR )
20		2rp 9475	. . . . 5 |- 2 e. RR+
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. RR+ )
22	19, 9, 21	ltdivmuld 9565	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) < ( 2 x. ( F ` N ) ) ) )
23	18, 22	mpbird 166	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) < ( F ` N ) )
24	4, 23	eqbrtrd 3958	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   {csn 3532   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   e. cmpo 5784   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   <_ cle 7825   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   RR+crp 9470   seqcseq 10249   ^cexp 10323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324

This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  10816