ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemdec Unicode version

Theorem resqrexlemdec 10790
Description: Lemma for resqrex 10805. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemdec  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  < 
( F `  N
) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdec
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemfp1 10788 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) )  /  2
) )
52adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
61, 2, 3resqrexlemf 10786 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
76ffvelrnda 5555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
85, 7rerpdivcld 9522 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  RR )
97rpred 9490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
101, 2, 3resqrexlemover 10789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
117rpcnd 9492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
1211sqvald 10428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  =  ( ( F `  N )  x.  ( F `  N )
) )
1310, 12breqtrd 3954 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N )  x.  ( F `  N )
) )
145, 9, 7ltdivmuld 9542 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) )  <  ( F `  N )  <->  A  <  ( ( F `  N
)  x.  ( F `
 N ) ) ) )
1513, 14mpbird 166 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  < 
( F `  N
) )
168, 9, 9, 15ltadd2dd 8191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  < 
( ( F `  N )  +  ( F `  N ) ) )
17112timesd 8969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( F `  N ) )  =  ( ( F `  N )  +  ( F `  N ) ) )
1816, 17breqtrrd 3956 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  < 
( 2  x.  ( F `  N )
) )
199, 8readdcld 7802 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  RR )
20 2rp 9453 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
2120a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
2219, 9, 21ltdivmuld 9542 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) )  /  2 )  <  ( F `  N )  <->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  < 
( 2  x.  ( F `  N )
) ) )
2318, 22mpbird 166 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) )  /  2 )  < 
( F `  N
) )
244, 23eqbrtrd 3950 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  < 
( F `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   {csn 3527   class class class wbr 3929    X. cxp 4537   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    x. cmul 7632    < clt 7807    <_ cle 7808    / cdiv 8439   NNcn 8727   2c2 8778   RR+crp 9448    seqcseq 10225   ^cexp 10299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300
This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  10791
  Copyright terms: Public domain W3C validator