ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd GIF version

Theorem ltadd2dd 7997
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltadd2d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltadd2d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltadd2d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltadd2d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ltadd2d 7996 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
61, 5mpbid 146 1 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  cr 7446   + caddc 7450   < clt 7619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-iota 5014  df-fv 5057  df-ov 5693  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624
This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  9572  rebtwn2zlemstep  9813  rebtwn2z  9815  2tnp1ge0ge0  9857  cvg1nlemcau  10532  resqrexlemdec  10559  eirraplem  11213
  Copyright terms: Public domain W3C validator