Theorem recp1lt1 9062

Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recp1lt1	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A / ( 1 + A ) ) < 1 )

Proof of Theorem recp1lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
2		ltp1 9007	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A < ( A + 1 ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A < ( A + 1 ) )
4	1	recnd 8191	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. CC )
5		1cnd 8178	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 1 e. CC )
6	4, 5	addcomd 8313	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A + 1 ) = ( 1 + A ) )
7	3, 6	breqtrd 4109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A < ( 1 + A ) )
8	5, 4	addcld 8182	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + A ) e. CC )
9		1red 8177	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 1 e. RR )
10	9, 1	readdcld 8192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + A ) e. RR )
11		1re 8161	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12		0lt1 8289	. . . . . . 7 |- 0 < 1
13		addgtge0 8613	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 0 <_ A ) ) -> 0 < ( 1 + A ) )
14	12, 13	mpanr1 437	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) /\ 0 <_ A ) -> 0 < ( 1 + A ) )
15	11, 14	mpanl1 434	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 < ( 1 + A ) )
16	10, 15	gt0ap0d 8792	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + A ) # 0 )
17	4, 8, 16	divcanap1d 8954	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( A / ( 1 + A ) ) x. ( 1 + A ) ) = A )
18	8	mulid2d 8181	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 x. ( 1 + A ) ) = ( 1 + A ) )
19	7, 17, 18	3brtr4d 4115	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( A / ( 1 + A ) ) x. ( 1 + A ) ) < ( 1 x. ( 1 + A ) ) )
20	1, 10, 16	redivclapd 8998	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A / ( 1 + A ) ) e. RR )
21		ltmul1 8755	. . 3 |- ( ( ( A / ( 1 + A ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( 1 + A ) e. RR /\ 0 < ( 1 + A ) ) ) -> ( ( A / ( 1 + A ) ) < 1 <-> ( ( A / ( 1 + A ) ) x. ( 1 + A ) ) < ( 1 x. ( 1 + A ) ) ) )
22	20, 9, 10, 15, 21	syl112anc 1275	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( A / ( 1 + A ) ) < 1 <-> ( ( A / ( 1 + A ) ) x. ( 1 + A ) ) < ( 1 x. ( 1 + A ) ) ) )
23	19, 22	mpbird 167	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A / ( 1 + A ) ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   RRcr 8014   0cc0 8015   1c1 8016   + caddc 8018   x. cmul 8020   < clt 8197   <_ cle 8198   / cdiv 8835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836

This theorem is referenced by: (None)