Theorem recp1lt1 8457

Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recp1lt1	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A / ( 1 + A ) ) < 1 )

Proof of Theorem recp1lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
2		ltp1 8402	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A < ( A + 1 ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A < ( A + 1 ) )
4	1	recnd 7613	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. CC )
5		1cnd 7601	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 1 e. CC )
6	4, 5	addcomd 7730	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A + 1 ) = ( 1 + A ) )
7	3, 6	breqtrd 3891	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A < ( 1 + A ) )
8	5, 4	addcld 7604	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + A ) e. CC )
9		1red 7600	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 1 e. RR )
10	9, 1	readdcld 7614	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + A ) e. RR )
11		1re 7584	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12		0lt1 7707	. . . . . . 7 |- 0 < 1
13		addgtge0 8025	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 0 <_ A ) ) -> 0 < ( 1 + A ) )
14	12, 13	mpanr1 429	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) /\ 0 <_ A ) -> 0 < ( 1 + A ) )
15	11, 14	mpanl1 426	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 < ( 1 + A ) )
16	10, 15	gt0ap0d 8202	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + A ) # 0 )
17	4, 8, 16	divcanap1d 8355	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( A / ( 1 + A ) ) x. ( 1 + A ) ) = A )
18	8	mulid2d 7603	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 x. ( 1 + A ) ) = ( 1 + A ) )
19	7, 17, 18	3brtr4d 3897	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( A / ( 1 + A ) ) x. ( 1 + A ) ) < ( 1 x. ( 1 + A ) ) )
20	1, 10, 16	redivclapd 8398	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A / ( 1 + A ) ) e. RR )
21		ltmul1 8166	. . 3 |- ( ( ( A / ( 1 + A ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( 1 + A ) e. RR /\ 0 < ( 1 + A ) ) ) -> ( ( A / ( 1 + A ) ) < 1 <-> ( ( A / ( 1 + A ) ) x. ( 1 + A ) ) < ( 1 x. ( 1 + A ) ) ) )
22	20, 9, 10, 15, 21	syl112anc 1185	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( A / ( 1 + A ) ) < 1 <-> ( ( A / ( 1 + A ) ) x. ( 1 + A ) ) < ( 1 x. ( 1 + A ) ) ) )
23	19, 22	mpbird 166	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A / ( 1 + A ) ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446   0cc0 7447   1c1 7448   + caddc 7450   x. cmul 7452   < clt 7619   <_ cle 7620   / cdiv 8236

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237

This theorem is referenced by: (None)