Theorem uzind 9254

Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	|- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
uzind.2	|- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
uzind.3	|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
uzind.4	|- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
uzind.5	|- ( M e. ZZ -> ps )
uzind.6	|- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
uzind	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ta )

Distinct variable groups:   j, N   ps, j   ch, j   th, j   ta, j   ph, k   j, k, M

Allowed substitution hints:   ph( j)   ps( k)   ch( k)   th( k)   ta( k)   N( k)

Proof of Theorem uzind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9150	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8368	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3		uzind.5	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ps )
4	2, 3	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M <_ M /\ ps ) )
5	4	ancli 321	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ ps ) ) )
6		breq2 3965	. . . . . . . . . 10 |- ( j = M -> ( M <_ j <-> M <_ M ) )
7		uzind.1	. . . . . . . . . 10 |- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( j = M -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ M /\ ps ) ) )
9	8	elrab 2864	. . . . . . . 8 |- ( M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ ps ) ) )
10	5, 9	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
11		peano2z 9182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ZZ -> ( k + 1 ) e. ZZ )
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( k + 1 ) e. ZZ ) )
13	12	adantrd 277	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ ) )
14		zre 9150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
15		ltp1 8694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. RR -> k < ( k + 1 ) )
16	15	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> k < ( k + 1 ) )
17		peano2re 7990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
18	17	ancli 321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. RR -> ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) )
19		lelttr 7944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
20	19	3expb 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. RR /\ ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
21	18, 20	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
22	16, 21	mpan2d 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M <_ k -> M < ( k + 1 ) ) )
23		ltle 7943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( M < ( k + 1 ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
24	17, 23	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M < ( k + 1 ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
25	22, 24	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M <_ k -> M <_ ( k + 1 ) ) )
26	1, 14, 25	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( M <_ k -> M <_ ( k + 1 ) ) )
27	26	adantrd 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ ch ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
28	27	expimpd 361	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
29		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> ( ch -> th ) )
30	29	3exp 1181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( M <_ k -> ( ch -> th ) ) ) )
31	30	imp4d 350	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> th ) )
32	28, 31	jcad 305	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
33	13, 32	jcad 305	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) ) )
34		breq2 3965	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( M <_ j <-> M <_ k ) )
35		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
36	34, 35	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ k /\ ch ) ) )
37	36	elrab 2864	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) )
38		breq2 3965	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( M <_ j <-> M <_ ( k + 1 ) ) )
39		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
40	38, 39	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
41	40	elrab 2864	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
42	33, 37, 41	3imtr4g 204	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } -> ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
43	42	ralrimiv 2526	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> A. k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
44		peano5uzti 9251	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } /\ A. k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) -> { w e. ZZ | M <_ w } C_ { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
45	10, 43, 44	mp2and 430	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> { w e. ZZ | M <_ w } C_ { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
46	45	sseld 3123	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( N e. { w e. ZZ | M <_ w } -> N e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
47		breq2 3965	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( M <_ w <-> M <_ N ) )
48	47	elrab 2864	. . . . 5 |- ( N e. { w e. ZZ | M <_ w } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
49		breq2 3965	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( M <_ j <-> M <_ N ) )
50		uzind.4	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
51	49, 50	anbi12d 465	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ N /\ ta ) ) )
52	51	elrab 2864	. . . . 5 |- ( N e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) )
53	46, 48, 52	3imtr3g 203	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) ) )
54	53	3impib 1180	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) )
55	54	simprd 113	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M <_ N /\ ta ) )
56	55	simprd 113	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 2125   A.wral 2432   {crab 2436   C_ wss 3098   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814   RRcr 7710   1c1 7712   + caddc 7714   < clt 7891   <_ cle 7892   ZZcz 9146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147

This theorem is referenced by:  uzind2  9255  uzind3  9256  nn0ind  9257  fzind  9258  resqrexlemdecn  10889  algcvga  11900  ennnfoneleminc  12099