Theorem uzind 9400

Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	|- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
uzind.2	|- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
uzind.3	|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
uzind.4	|- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
uzind.5	|- ( M e. ZZ -> ps )
uzind.6	|- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
uzind	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ta )

Distinct variable groups:   j, N   ps, j   ch, j   th, j   ta, j   ph, k   j, k, M

Allowed substitution hints:   ph( j)   ps( k)   ch( k)   th( k)   ta( k)   N( k)

Proof of Theorem uzind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9293	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8507	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3		uzind.5	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ps )
4	2, 3	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M <_ M /\ ps ) )
5	4	ancli 323	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ ps ) ) )
6		breq2 4025	. . . . . . . . . 10 |- ( j = M -> ( M <_ j <-> M <_ M ) )
7		uzind.1	. . . . . . . . . 10 |- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( j = M -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ M /\ ps ) ) )
9	8	elrab 2908	. . . . . . . 8 |- ( M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ ps ) ) )
10	5, 9	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
11		peano2z 9325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ZZ -> ( k + 1 ) e. ZZ )
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( k + 1 ) e. ZZ ) )
13	12	adantrd 279	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ ) )
14		zre 9293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
15		ltp1 8837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. RR -> k < ( k + 1 ) )
16	15	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> k < ( k + 1 ) )
17		peano2re 8129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
18	17	ancli 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. RR -> ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) )
19		lelttr 8082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
20	19	3expb 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. RR /\ ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
21	18, 20	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
22	16, 21	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M <_ k -> M < ( k + 1 ) ) )
23		ltle 8081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( M < ( k + 1 ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
24	17, 23	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M < ( k + 1 ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
25	22, 24	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M <_ k -> M <_ ( k + 1 ) ) )
26	1, 14, 25	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( M <_ k -> M <_ ( k + 1 ) ) )
27	26	adantrd 279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ ch ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
28	27	expimpd 363	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
29		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> ( ch -> th ) )
30	29	3exp 1204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( M <_ k -> ( ch -> th ) ) ) )
31	30	imp4d 352	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> th ) )
32	28, 31	jcad 307	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
33	13, 32	jcad 307	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) ) )
34		breq2 4025	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( M <_ j <-> M <_ k ) )
35		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
36	34, 35	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ k /\ ch ) ) )
37	36	elrab 2908	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) )
38		breq2 4025	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( M <_ j <-> M <_ ( k + 1 ) ) )
39		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
40	38, 39	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
41	40	elrab 2908	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
42	33, 37, 41	3imtr4g 205	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } -> ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
43	42	ralrimiv 2562	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> A. k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
44		peano5uzti 9397	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } /\ A. k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) -> { w e. ZZ | M <_ w } C_ { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
45	10, 43, 44	mp2and 433	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> { w e. ZZ | M <_ w } C_ { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
46	45	sseld 3169	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( N e. { w e. ZZ | M <_ w } -> N e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
47		breq2 4025	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( M <_ w <-> M <_ N ) )
48	47	elrab 2908	. . . . 5 |- ( N e. { w e. ZZ | M <_ w } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
49		breq2 4025	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( M <_ j <-> M <_ N ) )
50		uzind.4	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
51	49, 50	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ N /\ ta ) ) )
52	51	elrab 2908	. . . . 5 |- ( N e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) )
53	46, 48, 52	3imtr3g 204	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) ) )
54	53	3impib 1203	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) )
55	54	simprd 114	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M <_ N /\ ta ) )
56	55	simprd 114	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   C_ wss 3144   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900   RRcr 7845   1c1 7847   + caddc 7849   < clt 8028   <_ cle 8029   ZZcz 9289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8030  df-mnf 8031  df-xr 8032  df-ltxr 8033  df-le 8034  df-sub 8166  df-neg 8167  df-inn 8956  df-n0 9213  df-z 9290

This theorem is referenced by:  uzind2  9401  uzind3  9402  nn0ind  9403  fzind  9404  resqrexlemdecn  11063  algcvga  12095  ennnfoneleminc  12474