Theorem uzind 9353

Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	|- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
uzind.2	|- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
uzind.3	|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
uzind.4	|- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
uzind.5	|- ( M e. ZZ -> ps )
uzind.6	|- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
uzind	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ta )

Distinct variable groups:   j, N   ps, j   ch, j   th, j   ta, j   ph, k   j, k, M

Allowed substitution hints:   ph( j)   ps( k)   ch( k)   th( k)   ta( k)   N( k)

Proof of Theorem uzind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9246	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8461	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3		uzind.5	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ps )
4	2, 3	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M <_ M /\ ps ) )
5	4	ancli 323	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ ps ) ) )
6		breq2 4004	. . . . . . . . . 10 |- ( j = M -> ( M <_ j <-> M <_ M ) )
7		uzind.1	. . . . . . . . . 10 |- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( j = M -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ M /\ ps ) ) )
9	8	elrab 2893	. . . . . . . 8 |- ( M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ ps ) ) )
10	5, 9	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
11		peano2z 9278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ZZ -> ( k + 1 ) e. ZZ )
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( k + 1 ) e. ZZ ) )
13	12	adantrd 279	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ ) )
14		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
15		ltp1 8790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. RR -> k < ( k + 1 ) )
16	15	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> k < ( k + 1 ) )
17		peano2re 8083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
18	17	ancli 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. RR -> ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) )
19		lelttr 8036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
20	19	3expb 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. RR /\ ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
21	18, 20	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
22	16, 21	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M <_ k -> M < ( k + 1 ) ) )
23		ltle 8035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( M < ( k + 1 ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
24	17, 23	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M < ( k + 1 ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
25	22, 24	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M <_ k -> M <_ ( k + 1 ) ) )
26	1, 14, 25	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( M <_ k -> M <_ ( k + 1 ) ) )
27	26	adantrd 279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ ch ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
28	27	expimpd 363	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
29		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> ( ch -> th ) )
30	29	3exp 1202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( M <_ k -> ( ch -> th ) ) ) )
31	30	imp4d 352	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> th ) )
32	28, 31	jcad 307	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
33	13, 32	jcad 307	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) ) )
34		breq2 4004	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( M <_ j <-> M <_ k ) )
35		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
36	34, 35	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ k /\ ch ) ) )
37	36	elrab 2893	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) )
38		breq2 4004	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( M <_ j <-> M <_ ( k + 1 ) ) )
39		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
40	38, 39	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
41	40	elrab 2893	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
42	33, 37, 41	3imtr4g 205	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } -> ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
43	42	ralrimiv 2549	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> A. k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
44		peano5uzti 9350	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } /\ A. k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) -> { w e. ZZ | M <_ w } C_ { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
45	10, 43, 44	mp2and 433	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> { w e. ZZ | M <_ w } C_ { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
46	45	sseld 3154	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( N e. { w e. ZZ | M <_ w } -> N e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
47		breq2 4004	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( M <_ w <-> M <_ N ) )
48	47	elrab 2893	. . . . 5 |- ( N e. { w e. ZZ | M <_ w } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
49		breq2 4004	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( M <_ j <-> M <_ N ) )
50		uzind.4	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
51	49, 50	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ N /\ ta ) ) )
52	51	elrab 2893	. . . . 5 |- ( N e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) )
53	46, 48, 52	3imtr3g 204	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) ) )
54	53	3impib 1201	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) )
55	54	simprd 114	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M <_ N /\ ta ) )
56	55	simprd 114	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   C_ wss 3129   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   <_ cle 7983   ZZcz 9242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243

This theorem is referenced by:  uzind2  9354  uzind3  9355  nn0ind  9356  fzind  9357  resqrexlemdecn  11005  algcvga  12034  ennnfoneleminc  12395