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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > qbtwnxr | Unicode version |
Description: The rational numbers are
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qbtwnxr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elxr 9763 |
. . 3
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2 | elxr 9763 |
. . . . 5
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3 | qbtwnre 10243 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | 3expia 1205 |
. . . . . 6
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5 | simpl 109 |
. . . . . . . . 9
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6 | peano2re 8083 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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8 | ltp1 8790 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 8 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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10 | qbtwnre 10243 |
. . . . . . . . 9
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11 | 5, 7, 9, 10 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . 8
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12 | qre 9614 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | ltpnf 9767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
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15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 15, 16 | breqtrrd 4028 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 17 | a1d 22 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 18 | anim2d 337 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | reximdva 2579 |
. . . . . . . 8
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21 | 11, 20 | mpd 13 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | a1d 22 |
. . . . . 6
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23 | rexr 7993 |
. . . . . . 7
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24 | breq2 4004 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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26 | nltmnf 9775 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | pm2.21d 619 |
. . . . . . . 8
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29 | 25, 28 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
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30 | 23, 29 | sylan 283 |
. . . . . 6
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31 | 4, 22, 30 | 3jaodan 1306 |
. . . . 5
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32 | 2, 31 | sylan2b 287 |
. . . 4
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33 | breq1 4003 |
. . . . . 6
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34 | 33 | adantr 276 |
. . . . 5
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35 | pnfnlt 9774 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | adantl 277 |
. . . . . 6
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37 | 36 | pm2.21d 619 |
. . . . 5
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38 | 34, 37 | sylbid 150 |
. . . 4
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39 | peano2rem 8214 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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41 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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42 | ltm1 8792 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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44 | qbtwnre 10243 |
. . . . . . . . 9
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45 | 40, 41, 43, 44 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . 8
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46 | simpll 527 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 12 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | mnflt 9770 |
. . . . . . . . . . . . 13
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49 | 47, 48 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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50 | 46, 49 | eqbrtrd 4022 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 50 | a1d 22 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 51 | anim1d 336 |
. . . . . . . . 9
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53 | 52 | reximdva 2579 |
. . . . . . . 8
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54 | 45, 53 | mpd 13 |
. . . . . . 7
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55 | 54 | a1d 22 |
. . . . . 6
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56 | 1re 7947 |
. . . . . . . . . 10
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57 | mnflt 9770 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 56, 57 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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59 | breq1 4003 |
. . . . . . . . 9
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60 | 58, 59 | mpbiri 168 |
. . . . . . . 8
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61 | ltpnf 9767 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 56, 61 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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63 | breq2 4004 |
. . . . . . . . 9
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64 | 62, 63 | mpbiri 168 |
. . . . . . . 8
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65 | 1z 9268 |
. . . . . . . . . 10
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66 | zq 9615 |
. . . . . . . . . 10
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67 | 65, 66 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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68 | breq2 4004 |
. . . . . . . . . . 11
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69 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . 11
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70 | 68, 69 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . 10
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71 | 70 | rspcev 2841 |
. . . . . . . . 9
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72 | 67, 71 | mpan 424 |
. . . . . . . 8
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73 | 60, 64, 72 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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74 | 73 | a1d 22 |
. . . . . 6
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75 | 3mix3 1168 |
. . . . . . . 8
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76 | 75, 1 | sylibr 134 |
. . . . . . 7
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77 | 76, 29 | sylan 283 |
. . . . . 6
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78 | 55, 74, 77 | 3jaodan 1306 |
. . . . 5
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79 | 2, 78 | sylan2b 287 |
. . . 4
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80 | 32, 38, 79 | 3jaoian 1305 |
. . 3
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81 | 1, 80 | sylanb 284 |
. 2
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82 | 81 | 3impia 1200 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 |
This theorem is referenced by: ioo0 10246 ioom 10247 ico0 10248 ioc0 10249 blssps 13594 blss 13595 tgqioo 13714 |
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