ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ledivp1 Unicode version
Theorem ledivp1 9241
Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ledivp1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ A )
Proof of Theorem ledivp1
StepHypRef Expression
1 simprl 535 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
2 peano2re 8469 . . . 4 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
31, 2syl 14 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. RR )
4 simpll 531 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
5 0red 8333 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR )
6 simprr 537 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
7 ltp1 9182 . . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B < ( B + 1 ) )
81, 7syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B < ( B + 1 ) )
95, 1, 3, 6, 8lelttrd 8458 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( B + 1 ) )
103, 9gt0ap0d 8965 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) # 0 )
114, 3, 10redivclapd 9173 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A / ( B + 1 ) ) e. RR )
12 simpl 109 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
13 divge0 9211 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( ( B + 1 ) e. RR /\ 0 < ( B + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) )
1412, 3, 9, 13syl12anc 1276 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) )
1511, 14jca 306 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) ) )
161, 3, 8ltled 8452 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B <_ ( B + 1 ) )
17 lemul2a 9197 . . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR /\ ( ( A / ( B + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) ) ) /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) )
181, 3, 15, 16, 17syl31anc 1281 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) )
194recnd 8360 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
203recnd 8360 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. CC )
2119, 20, 10divcanap1d 9129 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) = A )
2218, 21breqtrd 4157 1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ A )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   / cdiv 9010
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011
This theorem is used by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator