Theorem ledivp1 8806

Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ledivp1	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ A )

Proof of Theorem ledivp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 526	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
2		peano2re 8042	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. RR )
4		simpll 524	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
5		0red 7908	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR )
6		simprr 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
7		ltp1 8747	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B < ( B + 1 ) )
8	1, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B < ( B + 1 ) )
9	5, 1, 3, 6, 8	lelttrd 8031	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( B + 1 ) )
10	3, 9	gt0ap0d 8535	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) # 0 )
11	4, 3, 10	redivclapd 8739	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A / ( B + 1 ) ) e. RR )
12		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
13		divge0 8776	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( ( B + 1 ) e. RR /\ 0 < ( B + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) )
14	12, 3, 9, 13	syl12anc 1231	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) )
15	11, 14	jca 304	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) ) )
16	1, 3, 8	ltled 8025	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B <_ ( B + 1 ) )
17		lemul2a 8762	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR /\ ( ( A / ( B + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) ) ) /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) )
18	1, 3, 15, 16, 17	syl31anc 1236	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) )
19	4	recnd 7935	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
20	3	recnd 7935	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. CC )
21	19, 20, 10	divcanap1d 8695	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) = A )
22	18, 21	breqtrd 4013	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762   + caddc 7764   x. cmul 7766   < clt 7941   <_ cle 7942   / cdiv 8576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577

This theorem is referenced by: (None)