ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ledivp1 Unicode version

Theorem ledivp1 8336
Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ledivp1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  B )  <_  A
)

Proof of Theorem ledivp1
StepHypRef Expression
1 simprl 498 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  RR )
2 peano2re 7597 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
4 simpll 496 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  RR )
5 0red 7468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  e.  RR )
6 simprr 499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  B )
7 ltp1 8277 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  ( B  +  1 ) )
81, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  <  ( B  +  1 ) )
95, 1, 3, 6, 8lelttrd 7587 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <  ( B  +  1 ) )
103, 9gt0ap0d 8081 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 ) #  0 )
114, 3, 10redivclapd 8273 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  /  ( B  + 
1 ) )  e.  RR )
12 simpl 107 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
13 divge0 8306 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( B  + 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( B  +  1 ) ) )
1412, 3, 9, 13syl12anc 1172 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  /  ( B  +  1 ) ) )
1511, 14jca 300 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  /  ( B  +  1 ) ) ) )
161, 3, 8ltled 7581 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
17 lemul2a 8292 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( A  / 
( B  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  ( B  + 
1 ) ) ) )  /\  B  <_ 
( B  +  1 ) )  ->  (
( A  /  ( B  +  1 ) )  x.  B )  <_  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  ( B  +  1 ) ) )
181, 3, 15, 16, 17syl31anc 1177 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  B )  <_  (
( A  /  ( B  +  1 ) )  x.  ( B  +  1 ) ) )
194recnd 7495 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  CC )
203recnd 7495 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 )  e.  CC )
2119, 20, 10divcanap1d 8231 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  ( B  +  1 ) )  =  A )
2218, 21breqtrd 3861 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  B )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    / cdiv 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator