Theorem ledivp1 8877

Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ledivp1	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ A )

Proof of Theorem ledivp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
2		peano2re 8110	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. RR )
4		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
5		0red 7975	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR )
6		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
7		ltp1 8818	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B < ( B + 1 ) )
8	1, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B < ( B + 1 ) )
9	5, 1, 3, 6, 8	lelttrd 8099	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( B + 1 ) )
10	3, 9	gt0ap0d 8603	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) # 0 )
11	4, 3, 10	redivclapd 8809	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A / ( B + 1 ) ) e. RR )
12		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
13		divge0 8847	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( ( B + 1 ) e. RR /\ 0 < ( B + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) )
14	12, 3, 9, 13	syl12anc 1246	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) )
15	11, 14	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) ) )
16	1, 3, 8	ltled 8093	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B <_ ( B + 1 ) )
17		lemul2a 8833	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR /\ ( ( A / ( B + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) ) ) /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) )
18	1, 3, 15, 16, 17	syl31anc 1251	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) )
19	4	recnd 8003	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
20	3	recnd 8003	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. CC )
21	19, 20, 10	divcanap1d 8765	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) = A )
22	18, 21	breqtrd 4043	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2159   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890   RRcr 7827   0cc0 7828   1c1 7829   + caddc 7831   x. cmul 7833   < clt 8009   <_ cle 8010   / cdiv 8646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647

This theorem is referenced by: (None)