Theorem ledivp1 9179

Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ledivp1	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ A )

Proof of Theorem ledivp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
2		peano2re 8411	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. RR )
4		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
5		0red 8277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR )
6		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
7		ltp1 9120	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B < ( B + 1 ) )
8	1, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B < ( B + 1 ) )
9	5, 1, 3, 6, 8	lelttrd 8400	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( B + 1 ) )
10	3, 9	gt0ap0d 8905	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) # 0 )
11	4, 3, 10	redivclapd 9111	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A / ( B + 1 ) ) e. RR )
12		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
13		divge0 9149	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( ( B + 1 ) e. RR /\ 0 < ( B + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) )
14	12, 3, 9, 13	syl12anc 1272	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) )
15	11, 14	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) ) )
16	1, 3, 8	ltled 8394	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B <_ ( B + 1 ) )
17		lemul2a 9135	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR /\ ( ( A / ( B + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( B + 1 ) ) ) ) /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) )
18	1, 3, 15, 16, 17	syl31anc 1277	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) )
19	4	recnd 8304	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
20	3	recnd 8304	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. CC )
21	19, 20, 10	divcanap1d 9067	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. ( B + 1 ) ) = A )
22	18, 21	breqtrd 4137	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A / ( B + 1 ) ) x. B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   x. cmul 8134   < clt 8310   <_ cle 8311   / cdiv 8948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949

This theorem is referenced by: (None)