ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ledivp1 Unicode version

Theorem ledivp1 8673
Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ledivp1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  B )  <_  A
)

Proof of Theorem ledivp1
StepHypRef Expression
1 simprl 520 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  RR )
2 peano2re 7910 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
4 simpll 518 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  RR )
5 0red 7779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  e.  RR )
6 simprr 521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  B )
7 ltp1 8614 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  ( B  +  1 ) )
81, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  <  ( B  +  1 ) )
95, 1, 3, 6, 8lelttrd 7899 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <  ( B  +  1 ) )
103, 9gt0ap0d 8403 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 ) #  0 )
114, 3, 10redivclapd 8606 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  /  ( B  + 
1 ) )  e.  RR )
12 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
13 divge0 8643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( B  + 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( A  /  ( B  +  1 ) ) )
1412, 3, 9, 13syl12anc 1214 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  /  ( B  +  1 ) ) )
1511, 14jca 304 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  /  ( B  +  1 ) ) ) )
161, 3, 8ltled 7893 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
17 lemul2a 8629 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( A  / 
( B  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  ( B  + 
1 ) ) ) )  /\  B  <_ 
( B  +  1 ) )  ->  (
( A  /  ( B  +  1 ) )  x.  B )  <_  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  ( B  +  1 ) ) )
181, 3, 15, 16, 17syl31anc 1219 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  B )  <_  (
( A  /  ( B  +  1 ) )  x.  ( B  +  1 ) ) )
194recnd 7806 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  CC )
203recnd 7806 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 )  e.  CC )
2119, 20, 10divcanap1d 8563 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  ( B  +  1 ) )  =  A )
2218, 21breqtrd 3954 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  /  ( B  + 
1 ) )  x.  B )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637    < clt 7812    <_ cle 7813    / cdiv 8444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator