Theorem isms2 15165

Description: Express the predicate " <. X , D >. is a metric space" with underlying set X and distance function D. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isms.j	|- J = ( TopOpen ` K )
isms.x	|- X = ( Base ` K )
isms.d	|- D = ( ( dist ` K ) |` ( X X. X ) )

Assertion

Ref	Expression
isms2	|- ( K e. MetSp <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )

Proof of Theorem isms2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isms.j	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` K )
2		isms.x	. . . 4 |- X = ( Base ` K )
3		isms.d	. . . 4 |- D = ( ( dist ` K ) |` ( X X. X ) )
4	1, 2, 3	isxms2 15163	. . 3 |- ( K e. *MetSp <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )
5	4	anbi1i 458	. 2 |- ( ( K e. *MetSp /\ D e. ( Met ` X ) ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) /\ D e. ( Met ` X ) ) )
6	1, 2, 3	isms 15164	. 2 |- ( K e. MetSp <-> ( K e. *MetSp /\ D e. ( Met ` X ) ) )
7		metxmet 15066	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8	7	pm4.71ri 392	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( Met ` X ) ) )
9	8	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( Met ` X ) ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )
10		an32 562	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( Met ` X ) ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) /\ D e. ( Met ` X ) ) )
11	9, 10	bitri 184	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) /\ D e. ( Met ` X ) ) )
12	5, 6, 11	3bitr4i 212	1 |- ( K e. MetSp <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   X. cxp 4719   |` cres 4723   ` cfv 5322   Basecbs 13069   distcds 13156   TopOpenctopn 13310   *Metcxmet 14537   Metcmet 14538   MetOpencmopn 14542   *MetSpcxms 15047   MetSpcms 15048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-pre-mulext 8138  ax-arch 8139  ax-caucvg 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-isom 5331  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-map 6812  df-sup 7172  df-inf 7173  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-ap 8750  df-div 8841  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-4 9192  df-5 9193  df-6 9194  df-7 9195  df-8 9196  df-9 9197  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-q 9842  df-rp 9877  df-xneg 9995  df-xadd 9996  df-seqfrec 10698  df-exp 10789  df-cj 11390  df-re 11391  df-im 11392  df-rsqrt 11546  df-abs 11547  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-tset 13166  df-rest 13311  df-topn 13312  df-topgen 13330  df-psmet 14544  df-xmet 14545  df-met 14546  df-bl 14547  df-mopn 14548  df-top 14709  df-topon 14722  df-topsp 14742  df-bases 14754  df-xms 15050  df-ms 15051

This theorem is referenced by:  mstopn  15167  msmet  15172  cnfldms  15247