Theorem isms2 12662

Description: Express the predicate " <. X , D >. is a metric space" with underlying set X and distance function D. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isms.j	|- J = ( TopOpen ` K )
isms.x	|- X = ( Base ` K )
isms.d	|- D = ( ( dist ` K ) |` ( X X. X ) )

Assertion

Ref	Expression
isms2	|- ( K e. MetSp <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )

Proof of Theorem isms2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isms.j	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` K )
2		isms.x	. . . 4 |- X = ( Base ` K )
3		isms.d	. . . 4 |- D = ( ( dist ` K ) |` ( X X. X ) )
4	1, 2, 3	isxms2 12660	. . 3 |- ( K e. *MetSp <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )
5	4	anbi1i 454	. 2 |- ( ( K e. *MetSp /\ D e. ( Met ` X ) ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) /\ D e. ( Met ` X ) ) )
6	1, 2, 3	isms 12661	. 2 |- ( K e. MetSp <-> ( K e. *MetSp /\ D e. ( Met ` X ) ) )
7		metxmet 12563	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8	7	pm4.71ri 390	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( Met ` X ) ) )
9	8	anbi1i 454	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( Met ` X ) ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )
10		an32 552	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( Met ` X ) ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) /\ D e. ( Met ` X ) ) )
11	9, 10	bitri 183	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) /\ D e. ( Met ` X ) ) )
12	5, 6, 11	3bitr4i 211	1 |- ( K e. MetSp <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   X. cxp 4545   |` cres 4549   ` cfv 5131   Basecbs 11998   distcds 12069   TopOpenctopn 12160   *Metcxmet 12188   Metcmet 12189   MetOpencmopn 12193   *MetSpcxms 12544   MetSpcms 12545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-ndx 12001  df-slot 12002  df-base 12004  df-tset 12079  df-rest 12161  df-topn 12162  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-topsp 12237  df-bases 12249  df-xms 12547  df-ms 12548

This theorem is referenced by:  mstopn  12664  msmet  12669