Theorem metxmet 14897

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 14896	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   × cxp 4680  ⟶wf 5275  ‘cfv 5279  ℝcr 7939  ∞Metcxmet 14368  Metcmet 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1re 8034  ax-addrcl 8037  ax-rnegex 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-map 6749  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-xadd 9910  df-xmet 14376  df-met 14377

This theorem is referenced by:  metdmdm  14899  meteq0  14902  mettri2  14904  met0  14906  metge0  14908  metsym  14913  metres2  14923  blpnf  14942  bl2in  14945  isms2  14996  metss2lem  15039  metss2  15040  cnxmet  15073  rexmet  15091