Theorem bl2in 13197

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bl2in	|- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 995	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 13149	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		simpl2 996	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> P e. X )
5		simpl3 997	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> Q e. X )
6		rexr 7965	. . 3 |- ( R e. RR -> R e. RR* )
7	6	ad2antrl 487	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR* )
8		simprl 526	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR )
9		rexadd 9809	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ R e. RR ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
10	8, 8, 9	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
11	8	recnd 7948	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. CC )
12	11	2timesd 9120	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) = ( R + R ) )
13	10, 12	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( 2 x. R ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> R e. RR )
15		metcl 13147	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( P D Q ) e. RR )
16		2re 8948	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
17		2pos 8969	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
18	16, 17	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19		lemuldiv2 8798	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
20	18, 19	mp3an3 1321	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
21	14, 15, 20	syl2anr 288	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
22	21	biimprd 157	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) ) )
23	22	impr 377	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) )
24	13, 23	eqbrtrd 4011	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) <_ ( P D Q ) )
25		bldisj 13195	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ R e. RR* /\ ( R +e R ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )
26	3, 4, 5, 7, 7, 24, 25	syl33anc 1248	1 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   i^i cin 3120   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   + caddc 7777   x. cmul 7779   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955   / cdiv 8589   2c2 8929   +ecxad 9727   *Metcxmet 12774   Metcmet 12775   ballcbl 12776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-xadd 9730  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784

This theorem is referenced by: (None)