Theorem bl2in 12331

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bl2in	|- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 952	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 12283	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		simpl2 953	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> P e. X )
5		simpl3 954	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> Q e. X )
6		rexr 7683	. . 3 |- ( R e. RR -> R e. RR* )
7	6	ad2antrl 477	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR* )
8		simprl 501	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR )
9		rexadd 9476	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ R e. RR ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
10	8, 8, 9	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
11	8	recnd 7666	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. CC )
12	11	2timesd 8814	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) = ( R + R ) )
13	10, 12	eqtr4d 2135	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( 2 x. R ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> R e. RR )
15		metcl 12281	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( P D Q ) e. RR )
16		2re 8648	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
17		2pos 8669	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
18	16, 17	pm3.2i 268	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19		lemuldiv2 8498	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
20	18, 19	mp3an3 1272	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
21	14, 15, 20	syl2anr 286	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
22	21	biimprd 157	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) ) )
23	22	impr 374	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) )
24	13, 23	eqbrtrd 3895	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) <_ ( P D Q ) )
25		bldisj 12329	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ R e. RR* /\ ( R +e R ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )
26	3, 4, 5, 7, 7, 24, 25	syl33anc 1199	1 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   i^i cin 3020   (/)c0 3310   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   RRcr 7499   0cc0 7500   + caddc 7503   x. cmul 7505   RR*cxr 7671   < clt 7672   <_ cle 7673   / cdiv 8293   2c2 8629   +ecxad 9398   *Metcxmet 11931   Metcmet 11932   ballcbl 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-2 8637  df-xadd 9401  df-psmet 11938  df-xmet 11939  df-met 11940  df-bl 11941

This theorem is referenced by: (None)