Theorem bl2in 14875

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bl2in	|- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1003	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 14827	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		simpl2 1004	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> P e. X )
5		simpl3 1005	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> Q e. X )
6		rexr 8118	. . 3 |- ( R e. RR -> R e. RR* )
7	6	ad2antrl 490	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR* )
8		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR )
9		rexadd 9974	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ R e. RR ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
10	8, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
11	8	recnd 8101	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. CC )
12	11	2timesd 9280	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) = ( R + R ) )
13	10, 12	eqtr4d 2241	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( 2 x. R ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> R e. RR )
15		metcl 14825	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( P D Q ) e. RR )
16		2re 9106	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
17		2pos 9127	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
18	16, 17	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19		lemuldiv2 8955	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
20	18, 19	mp3an3 1339	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
21	14, 15, 20	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
22	21	biimprd 158	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) ) )
23	22	impr 379	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) )
24	13, 23	eqbrtrd 4066	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) <_ ( P D Q ) )
25		bldisj 14873	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ R e. RR* /\ ( R +e R ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )
26	3, 4, 5, 7, 7, 24, 25	syl33anc 1265	1 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   i^i cin 3165   (/)c0 3460   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   + caddc 7928   x. cmul 7930   RR*cxr 8106   < clt 8107   <_ cle 8108   / cdiv 8745   2c2 9087   +ecxad 9892   *Metcxmet 14298   Metcmet 14299   ballcbl 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-2 9095  df-xadd 9895  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-met 14307  df-bl 14308

This theorem is referenced by: (None)