Theorem bl2in 13570

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bl2in	|- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1000	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 13522	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		simpl2 1001	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> P e. X )
5		simpl3 1002	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> Q e. X )
6		rexr 7993	. . 3 |- ( R e. RR -> R e. RR* )
7	6	ad2antrl 490	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR* )
8		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR )
9		rexadd 9839	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ R e. RR ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
10	8, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
11	8	recnd 7976	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. CC )
12	11	2timesd 9150	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) = ( R + R ) )
13	10, 12	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( 2 x. R ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> R e. RR )
15		metcl 13520	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( P D Q ) e. RR )
16		2re 8978	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
17		2pos 8999	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
18	16, 17	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19		lemuldiv2 8828	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
20	18, 19	mp3an3 1326	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
21	14, 15, 20	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
22	21	biimprd 158	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) ) )
23	22	impr 379	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) )
24	13, 23	eqbrtrd 4022	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) <_ ( P D Q ) )
25		bldisj 13568	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ R e. RR* /\ ( R +e R ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )
26	3, 4, 5, 7, 7, 24, 25	syl33anc 1253	1 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   i^i cin 3128   (/)c0 3422   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   RRcr 7801   0cc0 7802   + caddc 7805   x. cmul 7807   RR*cxr 7981   < clt 7982   <_ cle 7983   / cdiv 8618   2c2 8959   +ecxad 9757   *Metcxmet 13147   Metcmet 13148   ballcbl 13149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-2 8967  df-xadd 9760  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157

This theorem is referenced by: (None)