Theorem bl2in 14639

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bl2in	|- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 14591	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		simpl2 1003	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> P e. X )
5		simpl3 1004	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> Q e. X )
6		rexr 8072	. . 3 |- ( R e. RR -> R e. RR* )
7	6	ad2antrl 490	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR* )
8		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. RR )
9		rexadd 9927	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ R e. RR ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
10	8, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( R + R ) )
11	8	recnd 8055	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> R e. CC )
12	11	2timesd 9234	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) = ( R + R ) )
13	10, 12	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) = ( 2 x. R ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> R e. RR )
15		metcl 14589	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( P D Q ) e. RR )
16		2re 9060	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
17		2pos 9081	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
18	16, 17	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19		lemuldiv2 8909	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
20	18, 19	mp3an3 1337	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
21	14, 15, 20	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) <-> R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) )
22	21	biimprd 158	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ R e. RR ) -> ( R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) ) )
23	22	impr 379	. . 3 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. R ) <_ ( P D Q ) )
24	13, 23	eqbrtrd 4055	. 2 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( R +e R ) <_ ( P D Q ) )
25		bldisj 14637	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ R e. RR* /\ ( R +e R ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )
26	3, 4, 5, 7, 7, 24, 25	syl33anc 1264	1 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR /\ R <_ ( ( P D Q ) / 2 ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) R ) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   i^i cin 3156   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   + caddc 7882   x. cmul 7884   RR*cxr 8060   < clt 8061   <_ cle 8062   / cdiv 8699   2c2 9041   +ecxad 9845   *Metcxmet 14092   Metcmet 14093   ballcbl 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-2 9049  df-xadd 9848  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102

This theorem is referenced by: (None)