Theorem mplval2g 15223

Description: Self-referential expression for the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval2.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval2.u	|- U = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
mplval2g	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> P = ( S ↾s U ) )

Proof of Theorem mplval2g

Dummy variables f a b k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplval2.p	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
2		mplval2.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
4		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5		eqid 2238	. . 3 |- { f e. ( Base ` S ) | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } = { f e. ( Base ` S ) | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) }
6	1, 2, 3, 4, 5	mplvalcoe 15218	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> P = ( S ↾s { f e. ( Base ` S ) | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } ) )
7		mplval2.u	. . . 4 |- U = ( Base ` P )
8	1, 2, 3, 4, 7	mplbascoe 15219	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> U = { f e. ( Base ` S ) | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } )
9	8	oveq2d 6104	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( S ↾s U ) = ( S ↾s { f e. ( Base ` S ) | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } ) )
10	6, 9	eqtr4d 2274	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> P = ( S ↾s U ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926   < clt 8367   NN0cn0 9575   Basecbs 13411   ↾_s cress 13412   0gc0g 13670   mPwSer cmps 15155   mPoly cmpl 15157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-i2m1 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-ixp 6986  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-tset 13510  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-psr 15158  df-mplcoe 15160

This theorem is used by:  mpl0fi  15230  mplplusgg  15231  mplnegfi  15233  mplgrpfi  15234