Theorem mplnegfi 14634

Description: The negative function on multivariate polynomials. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplneg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplneg.b	|- B = ( Base ` P )
mplneg.n	|- N = ( invg ` R )
mplneg.m	|- M = ( invg ` P )
mplnegfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplneg.r	|- ( ph -> R e. Grp )
mplneg.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
mplnegfi	|- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Proof of Theorem mplnegfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplneg.m	. . . 4 |- M = ( invg ` P )
2	1	fveq1i 5604	. . 3 |- ( M ` X ) = ( ( invg ` P ) ` X )
3		mplnegfi.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. Fin )
4		mplneg.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Grp )
5		mplneg.p	. . . . . . 7 |- P = ( I mPoly R )
6		eqid 2209	. . . . . . 7 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
7		mplneg.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` P )
8	5, 6, 7	mplval2g 14624	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
10	9	fveq2d 5607	. . . 4 |- ( ph -> ( invg ` P ) = ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) )
11	10	fveq1d 5605	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` P ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
12	2, 11	eqtrid 2254	. 2 |- ( ph -> ( M ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
13	6, 5, 7, 3, 4	mplsubgfi 14630	. . 3 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) )
14		mplneg.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
15		eqid 2209	. . . 4 |- ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) = ( ( I mPwSer R ) ↾s B )
16		eqid 2209	. . . 4 |- ( invg ` ( I mPwSer R ) ) = ( invg ` ( I mPwSer R ) )
17		eqid 2209	. . . 4 |- ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) = ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
18	15, 16, 17	subginv 13684	. . 3 |- ( ( B e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) /\ X e. B ) -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
19	13, 14, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
20		eqid 2209	. . 3 |- { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } = { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin }
21		mplneg.n	. . 3 |- N = ( invg ` R )
22		eqid 2209	. . 3 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
23	5, 6, 7, 22	mplbasss 14625	. . . 4 |- B C_ ( Base ` ( I mPwSer R ) )
24	23, 14	sselid 3202	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
25	6, 3, 4, 20, 21, 22, 16, 24	psrneg 14616	. 2 |- ( ph -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( N o. X ) )
26	12, 19, 25	3eqtr2d 2248	1 |- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1375   e. wcel 2180   {crab 2492   `'ccnv 4695   "cima 4699   o. ccom 4700   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   ^m cmap 6765   Fincfn 6857   NNcn 9078   NN0cn0 9337   Basecbs 12998   ↾_s cress 12999   Grpcgrp 13499   invgcminusg 13500  SubGrpcsubg 13670   mPwSer cmps 14590   mPoly cmpl 14591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-1o 6532  df-er 6650  df-map 6767  df-ixp 6816  df-en 6858  df-fin 6860  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101  df-rest 13240  df-topn 13241  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-prds 13266  df-pws 13289  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-subg 13673  df-psr 14592  df-mplcoe 14593

This theorem is referenced by: (None)