Theorem mplnegfi 14852

Description: The negative function on multivariate polynomials. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplneg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplneg.b	|- B = ( Base ` P )
mplneg.n	|- N = ( invg ` R )
mplneg.m	|- M = ( invg ` P )
mplnegfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplneg.r	|- ( ph -> R e. Grp )
mplneg.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
mplnegfi	|- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Proof of Theorem mplnegfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplneg.m	. . . 4 |- M = ( invg ` P )
2	1	fveq1i 5670	. . 3 |- ( M ` X ) = ( ( invg ` P ) ` X )
3		mplnegfi.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. Fin )
4		mplneg.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Grp )
5		mplneg.p	. . . . . . 7 |- P = ( I mPoly R )
6		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
7		mplneg.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` P )
8	5, 6, 7	mplval2g 14842	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
10	9	fveq2d 5673	. . . 4 |- ( ph -> ( invg ` P ) = ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) )
11	10	fveq1d 5671	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` P ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
12	2, 11	eqtrid 2277	. 2 |- ( ph -> ( M ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
13	6, 5, 7, 3, 4	mplsubgfi 14848	. . 3 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) )
14		mplneg.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
15		eqid 2232	. . . 4 |- ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) = ( ( I mPwSer R ) ↾s B )
16		eqid 2232	. . . 4 |- ( invg ` ( I mPwSer R ) ) = ( invg ` ( I mPwSer R ) )
17		eqid 2232	. . . 4 |- ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) = ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
18	15, 16, 17	subginv 13890	. . 3 |- ( ( B e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) /\ X e. B ) -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
19	13, 14, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
20		eqid 2232	. . 3 |- { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } = { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin }
21		mplneg.n	. . 3 |- N = ( invg ` R )
22		eqid 2232	. . 3 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
23	5, 6, 7, 22	mplbasss 14843	. . . 4 |- B C_ ( Base ` ( I mPwSer R ) )
24	23, 14	sselid 3235	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
25	6, 3, 4, 20, 21, 22, 16, 24	psrneg 14834	. 2 |- ( ph -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( N o. X ) )
26	12, 19, 25	3eqtr2d 2271	1 |- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   `'ccnv 4747   "cima 4751   o. ccom 4752   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ^m cmap 6881   Fincfn 6974   NNcn 9236   NN0cn0 9495   Basecbs 13204   ↾_s cress 13205   Grpcgrp 13705   invgcminusg 13706  SubGrpcsubg 13876   mPwSer cmps 14801   mPoly cmpl 14802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-ixp 6933  df-en 6975  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-fz 10342  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-hom 13306  df-cco 13307  df-rest 13446  df-topn 13447  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-pt 13466  df-prds 13472  df-pws 13495  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-subg 13879  df-psr 14803  df-mplcoe 14804

This theorem is referenced by: (None)