Theorem mplnegfi 14972

Description: The negative function on multivariate polynomials. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplneg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplneg.b	|- B = ( Base ` P )
mplneg.n	|- N = ( invg ` R )
mplneg.m	|- M = ( invg ` P )
mplnegfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplneg.r	|- ( ph -> R e. Grp )
mplneg.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
mplnegfi	|- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Proof of Theorem mplnegfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplneg.m	. . . 4 |- M = ( invg ` P )
2	1	fveq1i 5676	. . 3 |- ( M ` X ) = ( ( invg ` P ) ` X )
3		mplnegfi.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. Fin )
4		mplneg.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Grp )
5		mplneg.p	. . . . . . 7 |- P = ( I mPoly R )
6		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
7		mplneg.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` P )
8	5, 6, 7	mplval2g 14962	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
10	9	fveq2d 5679	. . . 4 |- ( ph -> ( invg ` P ) = ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) )
11	10	fveq1d 5677	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` P ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
12	2, 11	eqtrid 2279	. 2 |- ( ph -> ( M ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
13	6, 5, 7, 3, 4	mplsubgfi 14968	. . 3 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) )
14		mplneg.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
15		eqid 2234	. . . 4 |- ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) = ( ( I mPwSer R ) ↾s B )
16		eqid 2234	. . . 4 |- ( invg ` ( I mPwSer R ) ) = ( invg ` ( I mPwSer R ) )
17		eqid 2234	. . . 4 |- ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) = ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
18	15, 16, 17	subginv 13982	. . 3 |- ( ( B e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) /\ X e. B ) -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
19	13, 14, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
20		eqid 2234	. . 3 |- { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } = { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin }
21		mplneg.n	. . 3 |- N = ( invg ` R )
22		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
23	5, 6, 7, 22	mplbasss 14963	. . . 4 |- B C_ ( Base ` ( I mPwSer R ) )
24	23, 14	sselid 3240	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
25	6, 3, 4, 20, 21, 22, 16, 24	psrneg 14954	. 2 |- ( ph -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( N o. X ) )
26	12, 19, 25	3eqtr2d 2273	1 |- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   `'ccnv 4753   "cima 4757   o. ccom 4758   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   Fincfn 6988   NNcn 9254   NN0cn0 9513   Basecbs 13296   ↾_s cress 13297   Grpcgrp 13797   invgcminusg 13798  SubGrpcsubg 13968   mPwSer cmps 14921   mPoly cmpl 14922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-ixp 6947  df-en 6989  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-hom 13398  df-cco 13399  df-rest 13538  df-topn 13539  df-0g 13555  df-topgen 13557  df-pt 13558  df-prds 13564  df-pws 13587  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-subg 13971  df-psr 14923  df-mplcoe 14924

This theorem is referenced by: (None)