Theorem mplnegfi 14786

Description: The negative function on multivariate polynomials. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplneg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplneg.b	|- B = ( Base ` P )
mplneg.n	|- N = ( invg ` R )
mplneg.m	|- M = ( invg ` P )
mplnegfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplneg.r	|- ( ph -> R e. Grp )
mplneg.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
mplnegfi	|- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Proof of Theorem mplnegfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplneg.m	. . . 4 |- M = ( invg ` P )
2	1	fveq1i 5649	. . 3 |- ( M ` X ) = ( ( invg ` P ) ` X )
3		mplnegfi.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. Fin )
4		mplneg.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Grp )
5		mplneg.p	. . . . . . 7 |- P = ( I mPoly R )
6		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
7		mplneg.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` P )
8	5, 6, 7	mplval2g 14776	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
10	9	fveq2d 5652	. . . 4 |- ( ph -> ( invg ` P ) = ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) )
11	10	fveq1d 5650	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` P ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
12	2, 11	eqtrid 2276	. 2 |- ( ph -> ( M ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
13	6, 5, 7, 3, 4	mplsubgfi 14782	. . 3 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) )
14		mplneg.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
15		eqid 2231	. . . 4 |- ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) = ( ( I mPwSer R ) ↾s B )
16		eqid 2231	. . . 4 |- ( invg ` ( I mPwSer R ) ) = ( invg ` ( I mPwSer R ) )
17		eqid 2231	. . . 4 |- ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) = ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) )
18	15, 16, 17	subginv 13829	. . 3 |- ( ( B e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) /\ X e. B ) -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
19	13, 14, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( ( invg ` ( ( I mPwSer R ) ↾s B ) ) ` X ) )
20		eqid 2231	. . 3 |- { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } = { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin }
21		mplneg.n	. . 3 |- N = ( invg ` R )
22		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
23	5, 6, 7, 22	mplbasss 14777	. . . 4 |- B C_ ( Base ` ( I mPwSer R ) )
24	23, 14	sselid 3226	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
25	6, 3, 4, 20, 21, 22, 16, 24	psrneg 14768	. 2 |- ( ph -> ( ( invg ` ( I mPwSer R ) ) ` X ) = ( N o. X ) )
26	12, 19, 25	3eqtr2d 2270	1 |- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   `'ccnv 4730   "cima 4734   o. ccom 4735   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   NNcn 9186   NN0cn0 9445   Basecbs 13143   ↾_s cress 13144   Grpcgrp 13644   invgcminusg 13645  SubGrpcsubg 13815   mPwSer cmps 14737   mPoly cmpl 14738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-ixp 6911  df-en 6953  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-fz 10287  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-hom 13245  df-cco 13246  df-rest 13385  df-topn 13386  df-0g 13402  df-topgen 13404  df-pt 13405  df-prds 13411  df-pws 13434  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-subg 13818  df-psr 14739  df-mplcoe 14740

This theorem is referenced by: (None)