Theorem mplplusgg 14632

Description: Value of addition in a polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplplusg.y	|- Y = ( I mPoly R )
mplplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplplusg.p	|- .+ = ( +g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
mplplusgg	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Proof of Theorem mplplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplplusg.p	. 2 |- .+ = ( +g ` Y )
2		mplplusg.y	. . . 4 |- Y = ( I mPoly R )
3		mplplusg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
4		eqid 2209	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5	2, 3, 4	mplval2g 14624	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y = ( S ↾s ( Base ` Y ) ) )
6		eqidd 2210	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` S ) )
7		basfn 13057	. . . 4 |- Base Fn _V
8		fnmpl 14622	. . . . . 6 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
9		elex 2791	. . . . . 6 |- ( I e. V -> I e. _V )
10		elex 2791	. . . . . 6 |- ( R e. W -> R e. _V )
11		fnovex 6007	. . . . . 6 |- ( ( mPoly Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1358	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
13	2, 12	eqeltrid 2296	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y e. _V )
14		funfvex 5620	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ Y e. dom Base ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
15	14	funfni 5399	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ Y e. _V ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
16	7, 13, 15	sylancr 414	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
17		fnpsr 14596	. . . . 5 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnovex 6007	. . . . 5 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
19	17, 9, 10, 18	mp3an3an 1358	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
20	3, 19	eqeltrid 2296	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
21	5, 6, 16, 20	ressplusgd 13128	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` Y ) )
22	1, 21	eqtr4id 2261	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   _Vcvv 2779   X. cxp 4694   Fn wfn 5289   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   Basecbs 12998   +g cplusg 13076   mPwSer cmps 14590   mPoly cmpl 14591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-tset 13095  df-rest 13240  df-topn 13241  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-psr 14592  df-mplcoe 14593

This theorem is referenced by:  mpladd  14633