Theorem mplplusgg 14720

Description: Value of addition in a polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplplusg.y	|- Y = ( I mPoly R )
mplplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplplusg.p	|- .+ = ( +g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
mplplusgg	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Proof of Theorem mplplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplplusg.p	. 2 |- .+ = ( +g ` Y )
2		mplplusg.y	. . . 4 |- Y = ( I mPoly R )
3		mplplusg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5	2, 3, 4	mplval2g 14712	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y = ( S ↾s ( Base ` Y ) ) )
6		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` S ) )
7		basfn 13143	. . . 4 |- Base Fn _V
8		fnmpl 14710	. . . . . 6 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
9		elex 2814	. . . . . 6 |- ( I e. V -> I e. _V )
10		elex 2814	. . . . . 6 |- ( R e. W -> R e. _V )
11		fnovex 6051	. . . . . 6 |- ( ( mPoly Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1379	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
13	2, 12	eqeltrid 2318	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y e. _V )
14		funfvex 5656	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ Y e. dom Base ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
15	14	funfni 5432	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ Y e. _V ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
16	7, 13, 15	sylancr 414	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
17		fnpsr 14684	. . . . 5 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnovex 6051	. . . . 5 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
19	17, 9, 10, 18	mp3an3an 1379	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
20	3, 19	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
21	5, 6, 16, 20	ressplusgd 13214	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` Y ) )
22	1, 21	eqtr4id 2283	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13084   +g cplusg 13162   mPwSer cmps 14678   mPoly cmpl 14679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-ixp 6868  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-tset 13181  df-rest 13326  df-topn 13327  df-topgen 13345  df-pt 13346  df-psr 14680  df-mplcoe 14681

This theorem is referenced by:  mpladd  14721