Theorem mplplusgg 14688

Description: Value of addition in a polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplplusg.y	|- Y = ( I mPoly R )
mplplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplplusg.p	|- .+ = ( +g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
mplplusgg	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Proof of Theorem mplplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplplusg.p	. 2 |- .+ = ( +g ` Y )
2		mplplusg.y	. . . 4 |- Y = ( I mPoly R )
3		mplplusg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
4		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5	2, 3, 4	mplval2g 14680	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y = ( S ↾s ( Base ` Y ) ) )
6		eqidd 2230	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` S ) )
7		basfn 13112	. . . 4 |- Base Fn _V
8		fnmpl 14678	. . . . . 6 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
9		elex 2811	. . . . . 6 |- ( I e. V -> I e. _V )
10		elex 2811	. . . . . 6 |- ( R e. W -> R e. _V )
11		fnovex 6043	. . . . . 6 |- ( ( mPoly Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1377	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
13	2, 12	eqeltrid 2316	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y e. _V )
14		funfvex 5649	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ Y e. dom Base ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
15	14	funfni 5426	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ Y e. _V ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
16	7, 13, 15	sylancr 414	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
17		fnpsr 14652	. . . . 5 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnovex 6043	. . . . 5 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
19	17, 9, 10, 18	mp3an3an 1377	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
20	3, 19	eqeltrid 2316	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
21	5, 6, 16, 20	ressplusgd 13183	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` Y ) )
22	1, 21	eqtr4id 2281	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   X. cxp 4718   Fn wfn 5316   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   Basecbs 13053   +g cplusg 13131   mPwSer cmps 14646   mPoly cmpl 14647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-ixp 6859  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-tset 13150  df-rest 13295  df-topn 13296  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-psr 14648  df-mplcoe 14649

This theorem is referenced by:  mpladd  14689