Theorem mplplusgg 14746

Description: Value of addition in a polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplplusg.y	|- Y = ( I mPoly R )
mplplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplplusg.p	|- .+ = ( +g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
mplplusgg	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Proof of Theorem mplplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplplusg.p	. 2 |- .+ = ( +g ` Y )
2		mplplusg.y	. . . 4 |- Y = ( I mPoly R )
3		mplplusg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
4		eqid 2230	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5	2, 3, 4	mplval2g 14738	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y = ( S ↾s ( Base ` Y ) ) )
6		eqidd 2231	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` S ) )
7		basfn 13164	. . . 4 |- Base Fn _V
8		fnmpl 14736	. . . . . 6 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
9		elex 2813	. . . . . 6 |- ( I e. V -> I e. _V )
10		elex 2813	. . . . . 6 |- ( R e. W -> R e. _V )
11		fnovex 6056	. . . . . 6 |- ( ( mPoly Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1379	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
13	2, 12	eqeltrid 2317	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y e. _V )
14		funfvex 5659	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ Y e. dom Base ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
15	14	funfni 5434	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ Y e. _V ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
16	7, 13, 15	sylancr 414	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
17		fnpsr 14705	. . . . 5 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnovex 6056	. . . . 5 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
19	17, 9, 10, 18	mp3an3an 1379	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
20	3, 19	eqeltrid 2317	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
21	5, 6, 16, 20	ressplusgd 13235	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` Y ) )
22	1, 21	eqtr4id 2282	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   X. cxp 4725   Fn wfn 5323   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   Basecbs 13105   +g cplusg 13183   mPwSer cmps 14699   mPoly cmpl 14700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-tset 13202  df-rest 13347  df-topn 13348  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-psr 14701  df-mplcoe 14702

This theorem is referenced by:  mpladd  14747