Theorem mplplusgg 14675

Description: Value of addition in a polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplplusg.y	|- Y = ( I mPoly R )
mplplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplplusg.p	|- .+ = ( +g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
mplplusgg	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Proof of Theorem mplplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplplusg.p	. 2 |- .+ = ( +g ` Y )
2		mplplusg.y	. . . 4 |- Y = ( I mPoly R )
3		mplplusg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
4		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5	2, 3, 4	mplval2g 14667	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y = ( S ↾s ( Base ` Y ) ) )
6		eqidd 2230	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` S ) )
7		basfn 13099	. . . 4 |- Base Fn _V
8		fnmpl 14665	. . . . . 6 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
9		elex 2811	. . . . . 6 |- ( I e. V -> I e. _V )
10		elex 2811	. . . . . 6 |- ( R e. W -> R e. _V )
11		fnovex 6040	. . . . . 6 |- ( ( mPoly Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1377	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPoly R ) e. _V )
13	2, 12	eqeltrid 2316	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> Y e. _V )
14		funfvex 5646	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ Y e. dom Base ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
15	14	funfni 5423	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ Y e. _V ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
16	7, 13, 15	sylancr 414	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` Y ) e. _V )
17		fnpsr 14639	. . . . 5 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnovex 6040	. . . . 5 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
19	17, 9, 10, 18	mp3an3an 1377	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
20	3, 19	eqeltrid 2316	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
21	5, 6, 16, 20	ressplusgd 13170	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` Y ) )
22	1, 21	eqtr4id 2281	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+ = ( +g ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   X. cxp 4717   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13040   +g cplusg 13118   mPwSer cmps 14633   mPoly cmpl 14634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-tset 13137  df-rest 13282  df-topn 13283  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-psr 14635  df-mplcoe 14636

This theorem is referenced by:  mpladd  14676