Theorem mpl0fi 14988

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	|- P = ( I mPoly R )
mpl0.o	|- O = ( 0g ` R )
mpl0.z	|- .0. = ( 0g ` P )
mpl0fi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mpl0.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mpl0fi	|- ( ph -> .0. = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )

Distinct variable groups:   x, I   x, O

Allowed substitution hints:   ph( x)   P( x)   R( x)   .0. ( x)

Proof of Theorem mpl0fi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` P )
2		mpl0fi.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
3		mpl0.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
4		mpl0.p	. . . . . 6 |- P = ( I mPoly R )
5		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
6		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
7	4, 5, 6	mplval2g 14981	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) )
9	8	fveq2d 5681	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( 0g ` ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) ) )
10	5, 4, 6, 2, 3	mplsubgfi 14987	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` P ) e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) )
11		eqid 2234	. . . . 5 |- ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) = ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) )
12		eqid 2234	. . . . 5 |- ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( 0g ` ( I mPwSer R ) )
13	11, 12	subg0 13932	. . . 4 |- ( ( Base ` P ) e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( 0g ` ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) ) )
14	10, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( 0g ` ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) ) )
15		eqid 2234	. . . . . 6 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
16		mpl0.o	. . . . . 6 |- O = ( 0g ` R )
17	5, 2, 3, 15, 16, 12	psr0 14972	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { O } ) )
18	15	psrbagfi 14954	. . . . . . 7 |- ( I e. Fin -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
20	19	xpeq1d 4779	. . . . 5 |- ( ph -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { O } ) = ( ( NN0 ^m I ) X. { O } ) )
21	17, 20	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( ( NN0 ^m I ) X. { O } ) )
22		fconstmpt 4804	. . . 4 |- ( ( NN0 ^m I ) X. { O } ) = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O )
23	21, 22	eqtrdi 2283	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )
24	9, 14, 23	3eqtr2d 2273	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )
25	1, 24	eqtrid 2279	1 |- ( ph -> .0. = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   {csn 3695   |-> cmpt 4177   X. cxp 4754   `'ccnv 4755   "cima 4759   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   ^m cmap 6897   Fincfn 6990   NNcn 9259   NN0cn0 9518   Basecbs 13302   ↾_s cress 13303   0gc0g 13559   Grpcgrp 13754  SubGrpcsubg 13919   mPwSer cmps 14940   mPoly cmpl 14941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-of 6277  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-1o 6662  df-er 6782  df-map 6899  df-ixp 6949  df-en 6991  df-fin 6993  df-sup 7290  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-dec 9733  df-uz 9877  df-fz 10367  df-struct 13304  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-sets 13309  df-iress 13310  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-sca 13396  df-vsca 13397  df-ip 13398  df-tset 13399  df-ple 13400  df-ds 13402  df-hom 13404  df-cco 13405  df-rest 13544  df-topn 13545  df-0g 13561  df-topgen 13563  df-pt 13564  df-mgm 13625  df-sgrp 13666  df-mnd 13679  df-grp 13757  df-minusg 13758  df-subg 13922  df-prds 14119  df-pws 14152  df-psr 14942  df-mplcoe 14943

This theorem is referenced by: (None)