Theorem mpl0fi 15230

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	|- P = ( I mPoly R )
mpl0.o	|- O = ( 0g ` R )
mpl0.z	|- .0. = ( 0g ` P )
mpl0fi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mpl0.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mpl0fi	|- ( ph -> .0. = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )

Distinct variable groups:   x, I   x, O

Allowed substitution hints:   ph( x)   P( x)   R( x)   .0. ( x)

Proof of Theorem mpl0fi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` P )
2		mpl0fi.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
3		mpl0.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
4		mpl0.p	. . . . . 6 |- P = ( I mPoly R )
5		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
6		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
7	4, 5, 6	mplval2g 15223	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) )
9	8	fveq2d 5702	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( 0g ` ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) ) )
10	5, 4, 6, 2, 3	mplsubgfi 15229	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` P ) e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) )
11		eqid 2238	. . . . 5 |- ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) = ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) )
12		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( 0g ` ( I mPwSer R ) )
13	11, 12	subg0 14043	. . . 4 |- ( ( Base ` P ) e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( 0g ` ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) ) )
14	10, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( 0g ` ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) ) )
15		eqid 2238	. . . . . 6 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
16		mpl0.o	. . . . . 6 |- O = ( 0g ` R )
17	5, 2, 3, 15, 16, 12	psr0 15201	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { O } ) )
18	15	psrbagfi 15168	. . . . . . 7 |- ( I e. Fin -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
20	19	xpeq1d 4799	. . . . 5 |- ( ph -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { O } ) = ( ( NN0 ^m I ) X. { O } ) )
21	17, 20	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( ( NN0 ^m I ) X. { O } ) )
22		fconstmpt 4824	. . . 4 |- ( ( NN0 ^m I ) X. { O } ) = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O )
23	21, 22	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )
24	9, 14, 23	3eqtr2d 2277	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )
25	1, 24	eqtrid 2283	1 |- ( ph -> .0. = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   {csn 3709   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   "cima 4779   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926   Fincfn 7027   NNcn 9314   NN0cn0 9575   Basecbs 13411   ↾_s cress 13412   0gc0g 13670   Grpcgrp 13865  SubGrpcsubg 14030   mPwSer cmps 15155   mPoly cmpl 15157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6986  df-en 7028  df-fin 7030  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-hom 13515  df-cco 13516  df-rest 13655  df-topn 13656  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-subg 14033  df-prds 14278  df-pws 14311  df-psr 15158  df-mplcoe 15160

This theorem is used by: (None)