Theorem mpl0fi 14674

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	|- P = ( I mPoly R )
mpl0.o	|- O = ( 0g ` R )
mpl0.z	|- .0. = ( 0g ` P )
mpl0fi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mpl0.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mpl0fi	|- ( ph -> .0. = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )

Distinct variable groups:   x, I   x, O

Allowed substitution hints:   ph( x)   P( x)   R( x)   .0. ( x)

Proof of Theorem mpl0fi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` P )
2		mpl0fi.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
3		mpl0.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
4		mpl0.p	. . . . . 6 |- P = ( I mPoly R )
5		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
6		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
7	4, 5, 6	mplval2g 14667	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> P = ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) )
9	8	fveq2d 5633	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( 0g ` ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) ) )
10	5, 4, 6, 2, 3	mplsubgfi 14673	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` P ) e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) )
11		eqid 2229	. . . . 5 |- ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) = ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) )
12		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( 0g ` ( I mPwSer R ) )
13	11, 12	subg0 13725	. . . 4 |- ( ( Base ` P ) e. (SubGrp ` ( I mPwSer R ) ) -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( 0g ` ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) ) )
14	10, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( 0g ` ( ( I mPwSer R ) ↾s ( Base ` P ) ) ) )
15		eqid 2229	. . . . . 6 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
16		mpl0.o	. . . . . 6 |- O = ( 0g ` R )
17	5, 2, 3, 15, 16, 12	psr0 14658	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { O } ) )
18	15	psrbagfi 14645	. . . . . . 7 |- ( I e. Fin -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
20	19	xpeq1d 4742	. . . . 5 |- ( ph -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { O } ) = ( ( NN0 ^m I ) X. { O } ) )
21	17, 20	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( ( NN0 ^m I ) X. { O } ) )
22		fconstmpt 4766	. . . 4 |- ( ( NN0 ^m I ) X. { O } ) = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O )
23	21, 22	eqtrdi 2278	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` ( I mPwSer R ) ) = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )
24	9, 14, 23	3eqtr2d 2268	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )
25	1, 24	eqtrid 2274	1 |- ( ph -> .0. = ( x e. ( NN0 ^m I ) |-> O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   {csn 3666   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   "cima 4722   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803   Fincfn 6895   NNcn 9118   NN0cn0 9377   Basecbs 13040   ↾_s cress 13041   0gc0g 13297   Grpcgrp 13541  SubGrpcsubg 13712   mPwSer cmps 14633   mPoly cmpl 14634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-er 6688  df-map 6805  df-ixp 6854  df-en 6896  df-fin 6898  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-hom 13142  df-cco 13143  df-rest 13282  df-topn 13283  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-prds 13308  df-pws 13331  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-subg 13715  df-psr 14635  df-mplcoe 14636

This theorem is referenced by: (None)