Theorem mplbascoe 14975

Description: Base set of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval.b	|- B = ( Base ` S )
mplval.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplbas.u	|- U = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
mplbascoe	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } )

Distinct variable groups:   B, f   f, a, b, k, I   R, f, a, b, k   .0. , f

Allowed substitution hints:   B( k, a, b)   P( f, k, a, b)   S( f, k, a, b)   U( f, k, a, b)   V( f, k, a, b)   W( f, k, a, b)   .0. ( k, a, b)

Proof of Theorem mplbascoe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplbas.u	. 2 |- U = ( Base ` P )
2		mplval.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
3		mplval.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
4		mplval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
5		mplval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
6		eqid 2234	. . . 4 |- { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) }
7	2, 3, 4, 5, 6	mplvalcoe 14974	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> P = ( S ↾s { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } ) )
8	4	a1i 9	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> B = ( Base ` S ) )
9		fnpsr 14944	. . . . 5 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
10		elex 2827	. . . . 5 |- ( I e. V -> I e. _V )
11		elex 2827	. . . . 5 |- ( R e. W -> R e. _V )
12		fnovex 6091	. . . . 5 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
13	9, 10, 11, 12	mp3an3an 1380	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
14	3, 13	eqeltrid 2321	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
15		ssrab2 3327	. . . 4 |- { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } C_ B
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } C_ B )
17	7, 8, 14, 16	ressbas2d 13368	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } = ( Base ` P ) )
18	1, 17	eqtr4id 2286	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   < clt 8324   NN0cn0 9516   Basecbs 13299   0gc0g 13556   mPwSer cmps 14938   mPoly cmpl 14939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-i2m1 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-ixp 6947  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-tset 13396  df-rest 13541  df-topn 13542  df-topgen 13560  df-pt 13561  df-psr 14940  df-mplcoe 14941

This theorem is referenced by:  mplelbascoe  14976  mplval2g  14979  mplbasss  14980