Theorem mplbascoe 14708

Description: Base set of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval.b	|- B = ( Base ` S )
mplval.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplbas.u	|- U = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
mplbascoe	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } )

Distinct variable groups:   B, f   f, a, b, k, I   R, f, a, b, k   .0. , f

Allowed substitution hints:   B( k, a, b)   P( f, k, a, b)   S( f, k, a, b)   U( f, k, a, b)   V( f, k, a, b)   W( f, k, a, b)   .0. ( k, a, b)

Proof of Theorem mplbascoe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplbas.u	. 2 |- U = ( Base ` P )
2		mplval.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
3		mplval.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
4		mplval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
5		mplval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
6		eqid 2231	. . . 4 |- { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) }
7	2, 3, 4, 5, 6	mplvalcoe 14707	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> P = ( S ↾s { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } ) )
8	4	a1i 9	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> B = ( Base ` S ) )
9		fnpsr 14684	. . . . 5 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
10		elex 2814	. . . . 5 |- ( I e. V -> I e. _V )
11		elex 2814	. . . . 5 |- ( R e. W -> R e. _V )
12		fnovex 6051	. . . . 5 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
13	9, 10, 11, 12	mp3an3an 1379	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
14	3, 13	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
15		ssrab2 3312	. . . 4 |- { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } C_ B
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } C_ B )
17	7, 8, 14, 16	ressbas2d 13153	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } = ( Base ` P ) )
18	1, 17	eqtr4id 2283	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   {crab 2514   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ^m cmap 6817   < clt 8214   NN0cn0 9402   Basecbs 13084   0gc0g 13341   mPwSer cmps 14678   mPoly cmpl 14679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-i2m1 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-ixp 6868  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-tset 13181  df-rest 13326  df-topn 13327  df-topgen 13345  df-pt 13346  df-psr 14680  df-mplcoe 14681

This theorem is referenced by:  mplelbascoe  14709  mplval2g  14712  mplbasss  14713