ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul02 Unicode version

Theorem mul02 7855
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
mul02  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )

Proof of Theorem mul02
StepHypRef Expression
1 0cn 7470 . . . 4  |-  0  e.  CC
21subidi 7743 . . 3  |-  ( 0  -  0 )  =  0
32oveq1i 5654 . 2  |-  ( ( 0  -  0 )  x.  A )  =  ( 0  x.  A
)
4 subdir 7854 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 0  -  0 )  x.  A )  =  ( ( 0  x.  A )  -  ( 0  x.  A
) ) )
51, 1, 4mp3an12 1263 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 0  -  0 )  x.  A )  =  ( ( 0  x.  A )  -  ( 0  x.  A
) ) )
6 mulcl 7459 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0  x.  A
)  e.  CC )
76subidd 7771 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  A )  -  (
0  x.  A ) )  =  0 )
81, 7mpan 415 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 0  x.  A
)  -  ( 0  x.  A ) )  =  0 )
95, 8eqtrd 2120 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 0  -  0 )  x.  A )  =  0 )
103, 9syl5eqr 2134 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438  (class class class)co 5644   CCcc 7338   0cc0 7340    x. cmul 7345    - cmin 7643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-setind 4351  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-sub 7645
This theorem is referenced by:  mul02lem2  7856  mul01  7857  mul02i  7858  mul02d  7860  demoivreALT  11050
  Copyright terms: Public domain W3C validator