Theorem mul02 8494

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul02	|- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )

Proof of Theorem mul02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8099	. . . 4 |- 0 e. CC
2	1	subidi 8378	. . 3 |- ( 0 - 0 ) = 0
3	2	oveq1i 5977	. 2 |- ( ( 0 - 0 ) x. A ) = ( 0 x. A )
4		subdir 8493	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 0 - 0 ) x. A ) = ( ( 0 x. A ) - ( 0 x. A ) ) )
5	1, 1, 4	mp3an12 1340	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 0 - 0 ) x. A ) = ( ( 0 x. A ) - ( 0 x. A ) ) )
6		mulcl 8087	. . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 x. A ) e. CC )
7	6	subidd 8406	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 0 x. A ) - ( 0 x. A ) ) = 0 )
8	1, 7	mpan 424	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 0 x. A ) - ( 0 x. A ) ) = 0 )
9	5, 8	eqtrd 2240	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 0 - 0 ) x. A ) = 0 )
10	3, 9	eqtr3id 2254	1 |- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   x. cmul 7965   - cmin 8278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280

This theorem is referenced by:  mul02lem2  8495  mul01  8496  mul02i  8497  mul02d  8499  demoivreALT  12200  nnnn0modprm0  12693  cnfldmulg  14453  lgsne0  15630