Theorem mul02 8529

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul02	|- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )

Proof of Theorem mul02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8134	. . . 4 |- 0 e. CC
2	1	subidi 8413	. . 3 |- ( 0 - 0 ) = 0
3	2	oveq1i 6010	. 2 |- ( ( 0 - 0 ) x. A ) = ( 0 x. A )
4		subdir 8528	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 0 - 0 ) x. A ) = ( ( 0 x. A ) - ( 0 x. A ) ) )
5	1, 1, 4	mp3an12 1361	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 0 - 0 ) x. A ) = ( ( 0 x. A ) - ( 0 x. A ) ) )
6		mulcl 8122	. . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 x. A ) e. CC )
7	6	subidd 8441	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 0 x. A ) - ( 0 x. A ) ) = 0 )
8	1, 7	mpan 424	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 0 x. A ) - ( 0 x. A ) ) = 0 )
9	5, 8	eqtrd 2262	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 0 - 0 ) x. A ) = 0 )
10	3, 9	eqtr3id 2276	1 |- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6000   CCcc 7993   0cc0 7995   x. cmul 8000   - cmin 8313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315

This theorem is referenced by:  mul02lem2  8530  mul01  8531  mul02i  8532  mul02d  8534  demoivreALT  12280  nnnn0modprm0  12773  cnfldmulg  14534  lgsne0  15711