Theorem mul02d 8534

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul02d	|- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul02 8529	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6000   CCcc 7993   0cc0 7995   x. cmul 8000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315

This theorem is referenced by:  mulneg1  8537  mulap0r  8758  mulap0  8797  un0mulcl  9399  mul2lt0rgt0  9952  mul2lt0np  9955  lincmb01cmp  10195  iccf1o  10196  bcval5  10980  hashxp  11043  remul2  11379  immul2  11386  fsumconst  11960  binomlem  11989  fprodeq0  12123  fprodeq0g  12144  efne0  12184  dvds0  12312  mulmoddvds  12369  mulgcd  12532  bezoutr1  12549  lcmgcd  12595  qnumgt0  12715  pcexp  12827  mulgnn0ass  13690  dvmptcmulcn  15389  dvef  15395  ply1termlem  15410  plyaddlem1  15415  plymullem1  15416  plycoeid3  15425  sin0pilem1  15449  sinhalfpip  15488  sinhalfpim  15489  coshalfpip  15490  coshalfpim  15491  lgsdir2  15706  lgsdir  15708  lgsdirnn0  15720  lgsdinn0  15721  lgsquad2lem2  15755