Theorem mul02d 8463

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul02d	|- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul02 8458	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5943   CCcc 7922   0cc0 7924   x. cmul 7929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-sub 8244

This theorem is referenced by:  mulneg1  8466  mulap0r  8687  mulap0  8726  un0mulcl  9328  mul2lt0rgt0  9881  mul2lt0np  9884  lincmb01cmp  10124  iccf1o  10125  bcval5  10906  hashxp  10969  remul2  11126  immul2  11133  fsumconst  11707  binomlem  11736  fprodeq0  11870  fprodeq0g  11891  efne0  11931  dvds0  12059  mulmoddvds  12116  mulgcd  12279  bezoutr1  12296  lcmgcd  12342  qnumgt0  12462  pcexp  12574  mulgnn0ass  13436  dvmptcmulcn  15135  dvef  15141  ply1termlem  15156  plyaddlem1  15161  plymullem1  15162  plycoeid3  15171  sin0pilem1  15195  sinhalfpip  15234  sinhalfpim  15235  coshalfpip  15236  coshalfpim  15237  lgsdir2  15452  lgsdir  15454  lgsdirnn0  15466  lgsdinn0  15467  lgsquad2lem2  15501