Theorem mul02d 8570

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul02d	|- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul02 8565	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   x. cmul 8036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351

This theorem is referenced by:  mulneg1  8573  mulap0r  8794  mulap0  8833  un0mulcl  9435  mul2lt0rgt0  9994  mul2lt0np  9997  lincmb01cmp  10237  iccf1o  10238  bcval5  11024  hashxp  11089  remul2  11433  immul2  11440  fsumconst  12014  binomlem  12043  fprodeq0  12177  fprodeq0g  12198  efne0  12238  dvds0  12366  mulmoddvds  12423  mulgcd  12586  bezoutr1  12603  lcmgcd  12649  qnumgt0  12769  pcexp  12881  mulgnn0ass  13744  dvmptcmulcn  15444  dvef  15450  ply1termlem  15465  plyaddlem1  15470  plymullem1  15471  plycoeid3  15480  sin0pilem1  15504  sinhalfpip  15543  sinhalfpim  15544  coshalfpip  15545  coshalfpim  15546  lgsdir2  15761  lgsdir  15763  lgsdirnn0  15775  lgsdinn0  15776  lgsquad2lem2  15810