Theorem mul02d 8709

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul02d	|- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul02 8704	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   x. cmul 8174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489

This theorem is referenced by:  mulneg1  8712  mulap0r  8933  mulap0  8972  un0mulcl  9576  mul2lt0rgt0  10140  mul2lt0np  10143  lincmb01cmp  10384  iccf1o  10386  bcval5  11179  hashxp  11245  remul2  11616  immul2  11623  fsumconst  12199  binomlem  12228  fprodeq0  12362  fprodeq0g  12383  efne0  12423  dvds0  12551  mulmoddvds  12608  mulgcd  12771  bezoutr1  12788  lcmgcd  12834  qnumgt0  12954  pcexp  13066  mulgnn0ass  13938  dvmptcmulcn  15745  dvef  15751  ply1termlem  15766  plyaddlem1  15771  plymullem1  15772  plycoeid3  15781  sin0pilem1  15805  sinhalfpip  15844  sinhalfpim  15845  coshalfpip  15846  coshalfpim  15847  lgsdir2  16066  lgsdir  16068  lgsdirnn0  16080  lgsdinn0  16081  lgsquad2lem2  16115