Theorem mul02d 8613

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul02d	|- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul02 8608	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8073   0cc0 8075   x. cmul 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394

This theorem is referenced by:  mulneg1  8616  mulap0r  8837  mulap0  8876  un0mulcl  9478  mul2lt0rgt0  10039  mul2lt0np  10042  lincmb01cmp  10282  iccf1o  10284  bcval5  11071  hashxp  11136  remul2  11496  immul2  11503  fsumconst  12078  binomlem  12107  fprodeq0  12241  fprodeq0g  12262  efne0  12302  dvds0  12430  mulmoddvds  12487  mulgcd  12650  bezoutr1  12667  lcmgcd  12713  qnumgt0  12833  pcexp  12945  mulgnn0ass  13808  dvmptcmulcn  15515  dvef  15521  ply1termlem  15536  plyaddlem1  15541  plymullem1  15542  plycoeid3  15551  sin0pilem1  15575  sinhalfpip  15614  sinhalfpim  15615  coshalfpip  15616  coshalfpim  15617  lgsdir2  15835  lgsdir  15837  lgsdirnn0  15849  lgsdinn0  15850  lgsquad2lem2  15884