Theorem mul02d 8726

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul02d	|- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul02 8721	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( 0 x. A ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8183   0cc0 8185   x. cmul 8190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506

This theorem is used by:  mulneg1  8729  mulap0r  8951  mulap0  8990  un0mulcl  9608  mul2lt0rgt0  10178  mul2lt0np  10181  lincmb01cmp  10422  iccf1o  10424  bcval5  11223  hashxp  11289  remul2  11660  immul2  11667  fsumconst  12246  binomlem  12275  fprodeq0  12409  fprodeq0g  12430  efne0  12470  dvds0  12598  mulmoddvds  12655  mulgcd  12818  bezoutr1  12835  lcmgcd  12881  qnumgt0  13003  pcexp  13117  mulgnn0ass  14020  dvmptcmulcn  15947  dvef  15953  ply1termlem  15968  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  plycoeid3  15983  sin0pilem1  16008  sinhalfpip  16047  sinhalfpim  16048  coshalfpip  16049  coshalfpim  16050  lgsdir2  16357  lgsdir  16359  lgsdirnn0  16371  lgsdinn0  16372  lgsquad2lem2  16406