Theorem nnnn0modprm0 12246

Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0modprm0	|- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) /\ I e. ( 0..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )

Distinct variable groups:   j, I   j, N   P, j

Proof of Theorem nnnn0modprm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12101	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> P e. NN )
3		fzo0sn0fzo1 10215	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( 0..^ P ) = ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( 0..^ P ) = ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) )
5	4	eleq2d 2247	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( I e. ( 0..^ P ) <-> I e. ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) ) )
6		elun 3276	. . . . 5 |- ( I e. ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) <-> ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ P ) ) )
7		elsni 3610	. . . . . . 7 |- ( I e. { 0 } -> I = 0 )
8		lbfzo0 10175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ( 0..^ P ) <-> P e. NN )
9	1, 8	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> 0 e. ( 0..^ P ) )
10		elfzoelz 10141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( 1..^ P ) -> N e. ZZ )
11		zcn 9253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
12		mul02 8339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. CC -> ( 0 x. N ) = 0 )
13	12	oveq2d 5887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. CC -> ( 0 + ( 0 x. N ) ) = ( 0 + 0 ) )
14		00id 8093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 + 0 ) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( 0 + ( 0 x. N ) ) = 0 )
16	10, 11, 15	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( 1..^ P ) -> ( 0 + ( 0 x. N ) ) = 0 )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( 0 + ( 0 x. N ) ) = 0 )
18	17	oveq1d 5886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) = ( 0 mod P ) )
19		nnq 9628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
20	1, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. QQ )
21	1	nngt0d 8958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> 0 < P )
22		q0mod 10349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( 0 mod P ) = 0 )
23	20, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> ( 0 mod P ) = 0 )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( 0 mod P ) = 0 )
25	18, 24	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) = 0 )
26		oveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = 0 -> ( j x. N ) = ( 0 x. N ) )
27	26	oveq2d 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = 0 -> ( 0 + ( j x. N ) ) = ( 0 + ( 0 x. N ) ) )
28	27	oveq1d 5886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = 0 -> ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) )
29	28	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = 0 -> ( ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 <-> ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
30	29	rspcev 2841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ( 0..^ P ) /\ ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) = 0 ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
31	9, 25, 30	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( I = 0 /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
33		oveq1 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I = 0 -> ( I + ( j x. N ) ) = ( 0 + ( j x. N ) ) )
34	33	oveq1d 5886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I = 0 -> ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) )
35	34	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 |- ( I = 0 -> ( ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 <-> ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I = 0 /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> ( ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 <-> ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
37	36	rexbidv 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( I = 0 /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> ( E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 <-> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
38	32, 37	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( I = 0 /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
39	38	ex 115	. . . . . . 7 |- ( I = 0 -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
40	7, 39	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. { 0 } -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
41		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> P e. Prime )
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. ( 1..^ P ) /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> P e. Prime )
43		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. ( 1..^ P ) /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> N e. ( 1..^ P ) )
44		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. ( 1..^ P ) /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> I e. ( 1..^ P ) )
45		modprm0 12245	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) /\ I e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( I e. ( 1..^ P ) /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
47	46	ex 115	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1..^ P ) -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
48	40, 47	jaoi 716	. . . . 5 |- ( ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ P ) ) -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
49	6, 48	sylbi 121	. . . 4 |- ( I e. ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
50	49	com12 30	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( I e. ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
51	5, 50	sylbid 150	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( I e. ( 0..^ P ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
52	51	3impia 1200	1 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) /\ I e. ( 0..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   u. cun 3127   {csn 3592   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871   CCcc 7805   0cc0 7807   1c1 7808   + caddc 7810   x. cmul 7812   < clt 7987   NNcn 8914   ZZcz 9248   QQcq 9614  ..^cfzo 10136   mod cmo 10316   Primecprime 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-frec 6388  df-1o 6413  df-2o 6414  df-oadd 6417  df-er 6531  df-en 6737  df-dom 6738  df-fin 6739  df-sup 6979  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-fz 10004  df-fzo 10137  df-fl 10264  df-mod 10317  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-ihash 10748  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-clim 11279  df-proddc 11551  df-dvds 11787  df-gcd 11935  df-prm 12099  df-phi 12202

This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12247