Theorem nnnn0modprm0 12628

Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0modprm0	|- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) /\ I e. ( 0..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )

Distinct variable groups:   j, I   j, N   P, j

Proof of Theorem nnnn0modprm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12482	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> P e. NN )
3		fzo0sn0fzo1 10363	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( 0..^ P ) = ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( 0..^ P ) = ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) )
5	4	eleq2d 2276	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( I e. ( 0..^ P ) <-> I e. ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) ) )
6		elun 3316	. . . . 5 |- ( I e. ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) <-> ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ P ) ) )
7		elsni 3653	. . . . . . 7 |- ( I e. { 0 } -> I = 0 )
8		lbfzo0 10318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ( 0..^ P ) <-> P e. NN )
9	1, 8	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> 0 e. ( 0..^ P ) )
10		elfzoelz 10282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( 1..^ P ) -> N e. ZZ )
11		zcn 9390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
12		mul02 8472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. CC -> ( 0 x. N ) = 0 )
13	12	oveq2d 5970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. CC -> ( 0 + ( 0 x. N ) ) = ( 0 + 0 ) )
14		00id 8226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 + 0 ) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( 0 + ( 0 x. N ) ) = 0 )
16	10, 11, 15	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( 1..^ P ) -> ( 0 + ( 0 x. N ) ) = 0 )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( 0 + ( 0 x. N ) ) = 0 )
18	17	oveq1d 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) = ( 0 mod P ) )
19		nnq 9767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
20	1, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. QQ )
21	1	nngt0d 9093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> 0 < P )
22		q0mod 10513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( 0 mod P ) = 0 )
23	20, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> ( 0 mod P ) = 0 )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( 0 mod P ) = 0 )
25	18, 24	eqtrd 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) = 0 )
26		oveq1 5961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = 0 -> ( j x. N ) = ( 0 x. N ) )
27	26	oveq2d 5970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = 0 -> ( 0 + ( j x. N ) ) = ( 0 + ( 0 x. N ) ) )
28	27	oveq1d 5969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = 0 -> ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) )
29	28	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = 0 -> ( ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 <-> ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
30	29	rspcev 2879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ( 0..^ P ) /\ ( ( 0 + ( 0 x. N ) ) mod P ) = 0 ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
31	9, 25, 30	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( I = 0 /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
33		oveq1 5961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I = 0 -> ( I + ( j x. N ) ) = ( 0 + ( j x. N ) ) )
34	33	oveq1d 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I = 0 -> ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) )
35	34	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . 11 |- ( I = 0 -> ( ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 <-> ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I = 0 /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> ( ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 <-> ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
37	36	rexbidv 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( I = 0 /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> ( E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 <-> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( 0 + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
38	32, 37	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( I = 0 /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
39	38	ex 115	. . . . . . 7 |- ( I = 0 -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
40	7, 39	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. { 0 } -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
41		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> P e. Prime )
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. ( 1..^ P ) /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> P e. Prime )
43		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. ( 1..^ P ) /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> N e. ( 1..^ P ) )
44		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. ( 1..^ P ) /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> I e. ( 1..^ P ) )
45		modprm0 12627	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) /\ I e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( I e. ( 1..^ P ) /\ ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )
47	46	ex 115	. . . . . 6 |- ( I e. ( 1..^ P ) -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
48	40, 47	jaoi 718	. . . . 5 |- ( ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ P ) ) -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
49	6, 48	sylbi 121	. . . 4 |- ( I e. ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) -> ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
50	49	com12 30	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( I e. ( { 0 } u. ( 1..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
51	5, 50	sylbid 150	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) ) -> ( I e. ( 0..^ P ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 ) )
52	51	3impia 1203	1 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( 1..^ P ) /\ I e. ( 0..^ P ) ) -> E. j e. ( 0..^ P ) ( ( I + ( j x. N ) ) mod P ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   E.wrex 2486   u. cun 3166   {csn 3635   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954   CCcc 7936   0cc0 7938   1c1 7939   + caddc 7941   x. cmul 7943   < clt 8120   NNcn 9049   ZZcz 9385   QQcq 9753  ..^cfzo 10277   mod cmo 10480   Primecprime 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-2o 6513  df-oadd 6516  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-sup 7098  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-proddc 11912  df-dvds 12149  df-gcd 12325  df-prm 12480  df-phi 12583

This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12629