ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnn0modprm0 Unicode version

Theorem nnnn0modprm0 12275
Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0modprm0  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 0..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
Distinct variable groups:    j, I    j, N    P, j

Proof of Theorem nnnn0modprm0
StepHypRef Expression
1 prmnn 12130 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  NN )
3 fzo0sn0fzo1 10241 . . . . 5  |-  ( P  e.  NN  ->  (
0..^ P )  =  ( { 0 }  u.  ( 1..^ P ) ) )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0..^ P )  =  ( { 0 }  u.  ( 1..^ P ) ) )
54eleq2d 2259 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ P )  <-> 
I  e.  ( { 0 }  u.  (
1..^ P ) ) ) )
6 elun 3291 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( { 0 }  u.  ( 1..^ P ) )  <->  ( I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ P ) ) )
7 elsni 3625 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  { 0 }  ->  I  =  0 )
8 lbfzo0 10201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( 0..^ P )  <->  P  e.  NN )
91, 8sylibr 134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  0  e.  ( 0..^ P ) )
10 elfzoelz 10167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  ZZ )
11 zcn 9278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
12 mul02 8364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  CC  ->  (
0  x.  N )  =  0 )
1312oveq2d 5908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  (
0  +  ( 0  x.  N ) )  =  ( 0  +  0 ) )
14 00id 8118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1513, 14eqtrdi 2238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
0  +  ( 0  x.  N ) )  =  0 )
1610, 11, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  ( 0  +  ( 0  x.  N ) )  =  0 )
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  +  ( 0  x.  N ) )  =  0 )
1817oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( (
0  +  ( 0  x.  N ) )  mod  P )  =  ( 0  mod  P
) )
19 nnq 9653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  QQ )
201, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  QQ )
211nngt0d 8983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  0  < 
P )
22 q0mod 10375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  QQ  /\  0  <  P )  -> 
( 0  mod  P
)  =  0 )
2320, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
2518, 24eqtrd 2222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( (
0  +  ( 0  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
26 oveq1 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  0  ->  (
j  x.  N )  =  ( 0  x.  N ) )
2726oveq2d 5908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  0  ->  (
0  +  ( j  x.  N ) )  =  ( 0  +  ( 0  x.  N
) ) )
2827oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  0  ->  (
( 0  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( 0  +  ( 0  x.  N ) )  mod 
P ) )
2928eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( 0  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0  <->  (
( 0  +  ( 0  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
3029rspcev 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ( 0..^ P )  /\  (
( 0  +  ( 0  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )  ->  E. j  e.  (
0..^ P ) ( ( 0  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
319, 25, 30syl2an2r 595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( 0  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 )
3231adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  =  0  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( 0  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
33 oveq1 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  =  0  ->  (
I  +  ( j  x.  N ) )  =  ( 0  +  ( j  x.  N
) ) )
3433oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  =  0  ->  (
( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( 0  +  ( j  x.  N ) )  mod 
P ) )
3534eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  0  ->  (
( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0  <->  (
( 0  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
3635adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  =  0  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0  <->  ( ( 0  +  ( j  x.  N ) )  mod 
P )  =  0 ) )
3736rexbidv 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  =  0  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0  <->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( 0  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
3832, 37mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  =  0  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
3938ex 115 . . . . . . 7  |-  ( I  =  0  ->  (
( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  (
0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
407, 39syl 14 . . . . . 6  |-  ( I  e.  { 0 }  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 ) )
41 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  Prime )
4241adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 1..^ P )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  Prime )
43 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 1..^ P )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  ( 1..^ P ) )
44 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 1..^ P )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  ( 1..^ P ) )
45 modprm0 12274 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1249 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 1..^ P )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 )
4746ex 115 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 ) )
4840, 47jaoi 717 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 ) )
496, 48sylbi 121 . . . 4  |-  ( I  e.  ( { 0 }  u.  ( 1..^ P ) )  -> 
( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
5049com12 30 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( I  e.  ( { 0 }  u.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 ) )
515, 50sylbid 150 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ P )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
52513impia 1202 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 0..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   E.wrex 2469    u. cun 3142   {csn 3607   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   CCcc 7829   0cc0 7831   1c1 7832    + caddc 7834    x. cmul 7836    < clt 8012   NNcn 8939   ZZcz 9273   QQcq 9639  ..^cfzo 10162    mod cmo 10342   Primecprime 12127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-frec 6411  df-1o 6436  df-2o 6437  df-oadd 6440  df-er 6554  df-en 6760  df-dom 6761  df-fin 6762  df-sup 7003  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-fz 10029  df-fzo 10163  df-fl 10290  df-mod 10343  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-ihash 10776  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-clim 11307  df-proddc 11579  df-dvds 11815  df-gcd 11964  df-prm 12128  df-phi 12231
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12276
  Copyright terms: Public domain W3C validator