ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul02 GIF version

Theorem mul02 8173
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02
StepHypRef Expression
1 0cn 7782 . . . 4 0 ∈ ℂ
21subidi 8057 . . 3 (0 − 0) = 0
32oveq1i 5792 . 2 ((0 − 0) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
4 subdir 8172 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
51, 1, 4mp3an12 1306 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
6 mulcl 7771 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
76subidd 8085 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
81, 7mpan 421 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
95, 8eqtrd 2173 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = 0)
103, 9syl5eqr 2187 1 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  (class class class)co 5782  cc 7642  0cc0 7644   · cmul 7649  cmin 7957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959
This theorem is referenced by:  mul02lem2  8174  mul01  8175  mul02i  8176  mul02d  8178  demoivreALT  11516
  Copyright terms: Public domain W3C validator