Theorem mul02 8559

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul02	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8164	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	subidi 8443	. . 3 ⊢ (0 − 0) = 0
3	2	oveq1i 6023	. 2 ⊢ ((0 − 0) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
4		subdir 8558	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
5	1, 1, 4	mp3an12 1361	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
6		mulcl 8152	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	subidd 8471	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
8	1, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
9	5, 8	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = 0)
10	3, 9	eqtr3id 2276	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025   · cmul 8030   − cmin 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8345

This theorem is referenced by:  mul02lem2  8560  mul01  8561  mul02i  8562  mul02d  8564  demoivreALT  12328  nnnn0modprm0  12821  cnfldmulg  14583  lgsne0  15760