Theorem mul02 8521

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul02	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8126	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	subidi 8405	. . 3 ⊢ (0 − 0) = 0
3	2	oveq1i 6004	. 2 ⊢ ((0 − 0) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
4		subdir 8520	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
5	1, 1, 4	mp3an12 1361	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
6		mulcl 8114	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	subidd 8433	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
8	1, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
9	5, 8	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = 0)
10	3, 9	eqtr3id 2276	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  0cc0 7987   · cmul 7992   − cmin 8305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4626  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-sub 8307

This theorem is referenced by:  mul02lem2  8522  mul01  8523  mul02i  8524  mul02d  8526  demoivreALT  12271  nnnn0modprm0  12764  cnfldmulg  14525  lgsne0  15702