Theorem mul02 8346

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul02	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7951	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	subidi 8230	. . 3 ⊢ (0 − 0) = 0
3	2	oveq1i 5887	. 2 ⊢ ((0 − 0) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
4		subdir 8345	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
5	1, 1, 4	mp3an12 1327	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
6		mulcl 7940	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	subidd 8258	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
8	1, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
9	5, 8	eqtrd 2210	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = 0)
10	3, 9	eqtr3id 2224	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  0cc0 7813   · cmul 7818   − cmin 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132

This theorem is referenced by:  mul02lem2  8347  mul01  8348  mul02i  8349  mul02d  8351  demoivreALT  11783  nnnn0modprm0  12257  cnfldmulg  13555  lgsne0  14524