ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul02 GIF version

Theorem mul02 7767
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02
StepHypRef Expression
1 0cn 7382 . . . 4 0 ∈ ℂ
21subidi 7655 . . 3 (0 − 0) = 0
32oveq1i 5600 . 2 ((0 − 0) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
4 subdir 7766 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
51, 1, 4mp3an12 1259 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
6 mulcl 7371 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
76subidd 7683 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
81, 7mpan 415 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
95, 8eqtrd 2115 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = 0)
103, 9syl5eqr 2129 1 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5590  cc 7250  0cc0 7252   · cmul 7257  cmin 7555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-setind 4315  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-cnre 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-sub 7557
This theorem is referenced by:  mul02lem2  7768  mul01  7769  mul02i  7770  mul02d  7772
  Copyright terms: Public domain W3C validator