ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul02 GIF version

Theorem mul02 8117
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02
StepHypRef Expression
1 0cn 7726 . . . 4 0 ∈ ℂ
21subidi 8001 . . 3 (0 − 0) = 0
32oveq1i 5752 . 2 ((0 − 0) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
4 subdir 8116 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
51, 1, 4mp3an12 1290 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)))
6 mulcl 7715 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
76subidd 8029 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
81, 7mpan 420 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 · 𝐴) − (0 · 𝐴)) = 0)
95, 8eqtrd 2150 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 0) · 𝐴) = 0)
103, 9syl5eqr 2164 1 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588   · cmul 7593  cmin 7901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903
This theorem is referenced by:  mul02lem2  8118  mul01  8119  mul02i  8120  mul02d  8122  demoivreALT  11407
  Copyright terms: Public domain W3C validator