Theorem mul2lt0np 9663

Description: The product of multiplicands of different signs is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.an	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
mul2lt0.bp	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0np	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mul2lt0np

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 7873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3		mul2lt0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		mul2lt0.bp	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5	3, 4	elrpd 9593	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
6		mul2lt0.an	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
7	1, 2, 5, 6	ltmul1dd 9652	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
8	3	recnd 7900	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	mul02d 8261	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
10	7, 9	breqtrd 3990	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  ℝcr 7725  0cc0 7726   · cmul 7731   < clt 7906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-ltxr 7911  df-sub 8042  df-neg 8043  df-rp 9554

This theorem is referenced by:  mul2lt0pn  9664