Theorem mul2lt0np 9795

Description: The product of multiplicands of different signs is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.an	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
mul2lt0.bp	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0np	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mul2lt0np

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 7989	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3		mul2lt0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		mul2lt0.bp	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5	3, 4	elrpd 9725	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
6		mul2lt0.an	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
7	1, 2, 5, 6	ltmul1dd 9784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
8	3	recnd 8017	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	mul02d 8380	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
10	7, 9	breqtrd 4044	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  ℝcr 7841  0cc0 7842   · cmul 7847   < clt 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-sub 8161  df-neg 8162  df-rp 9686

This theorem is referenced by:  mul2lt0pn  9796