Theorem mul2lt0np 9832

Description: The product of multiplicands of different signs is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.an	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
mul2lt0.bp	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0np	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mul2lt0np

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 8022	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3		mul2lt0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		mul2lt0.bp	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5	3, 4	elrpd 9762	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
6		mul2lt0.an	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
7	1, 2, 5, 6	ltmul1dd 9821	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
8	3	recnd 8050	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	mul02d 8413	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
10	7, 9	breqtrd 4056	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874   · cmul 7879   < clt 8056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-sub 8194  df-neg 8195  df-rp 9723

This theorem is referenced by:  mul2lt0pn  9833