Theorem mul2lt0rgt0 9756

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	|- ( ph -> A e. RR )
mul2lt0.2	|- ( ph -> B e. RR )
mul2lt0.3	|- ( ph -> ( A x. B ) < 0 )

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0rgt0	|- ( ( ph /\ 0 < B ) -> A < 0 )

Proof of Theorem mul2lt0rgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.3	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. B ) < 0 )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> ( A x. B ) < 0 )
3		mul2lt0.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> B e. RR )
5	4	recnd 7982	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> B e. CC )
6	5	mul02d 8345	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
7	2, 6	breqtrrd 4030	. 2 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> ( A x. B ) < ( 0 x. B ) )
8		mul2lt0.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> A e. RR )
10		0red 7955	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> 0 e. RR )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> 0 < B )
12	4, 11	elrpd 9689	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> B e. RR+ )
13	9, 10, 12	ltmul1d 9734	. 2 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> ( A < 0 <-> ( A x. B ) < ( 0 x. B ) ) )
14	7, 13	mpbird 167	1 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> A < 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   RRcr 7807   0cc0 7808   x. cmul 7813   < clt 7988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-sub 8126  df-neg 8127  df-rp 9650

This theorem is referenced by:  mul2lt0lgt0  9758