Theorem mul2lt0rgt0 9895

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0rgt0	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)

Proof of Theorem mul2lt0rgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
3		mul2lt0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	recnd 8114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	mul02d 8477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (0 · 𝐵) = 0)
7	2, 6	breqtrrd 4076	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
8		mul2lt0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 8086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
12	4, 11	elrpd 9828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
13	9, 10, 12	ltmul1d 9873	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵)))
14	7, 13	mpbird 167	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℝcr 7937  0cc0 7938   · cmul 7943   < clt 8120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-sub 8258  df-neg 8259  df-rp 9789

This theorem is referenced by:  mul2lt0lgt0  9897