Theorem mul2lt0rgt0 9717

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0rgt0	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)

Proof of Theorem mul2lt0rgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2	1	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
3		mul2lt0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	recnd 7948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	mul02d 8311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (0 · 𝐵) = 0)
7	2, 6	breqtrrd 4017	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
8		mul2lt0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 7921	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
11		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
12	4, 11	elrpd 9650	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
13	9, 10, 12	ltmul1d 9695	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵)))
14	7, 13	mpbird 166	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774   · cmul 7779   < clt 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  mul2lt0lgt0  9719