ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul2lt0rgt0 GIF version

Theorem mul2lt0rgt0 9758
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0rgt0 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)

Proof of Theorem mul2lt0rgt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
21adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
3 mul2lt0.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
54recnd 7984 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
65mul02d 8347 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (0 · 𝐵) = 0)
72, 6breqtrrd 4031 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
8 mul2lt0.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 7957 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
11 simpr 110 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
124, 11elrpd 9691 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
139, 10, 12ltmul1d 9736 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵)))
147, 13mpbird 167 1 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cr 7809  0cc0 7810   · cmul 7815   < clt 7990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-sub 8128  df-neg 8129  df-rp 9652
This theorem is referenced by:  mul2lt0lgt0  9760
  Copyright terms: Public domain W3C validator