ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulasspig Unicode version

Theorem mulasspig 7361
Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulasspig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( A  .N  ( B  .N  C
) ) )

Proof of Theorem mulasspig
StepHypRef Expression
1 pinn 7338 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 7338 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 7338 . . 3  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nnmass 6512 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1291 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
6 mulclpi 7357 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
7 mulpiord 7346 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  B
)  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C
)  =  ( ( A  .N  B )  .o  C ) )
86, 7sylan 283 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( ( A  .N  B
)  .o  C ) )
9 mulpiord 7346 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
109oveq1d 5911 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .o  C
)  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
1110adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .o  C )  =  ( ( A  .o  B
)  .o  C ) )
128, 11eqtrd 2222 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( ( A  .o  B
)  .o  C ) )
13123impa 1196 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
14 mulclpi 7357 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  .N  C
)  e.  N. )
15 mulpiord 7346 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  .N  C
)  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  .N  C
) ) )
1614, 15sylan2 286 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  .N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  .N  C ) ) )
17 mulpiord 7346 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  .N  C
)  =  ( B  .o  C ) )
1817oveq2d 5912 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  ( B  .N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
1918adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .o  ( B  .N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
2016, 19eqtrd 2222 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  .N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
21203impb 1201 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
225, 13, 213eqtr4d 2232 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( A  .N  ( B  .N  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   omcom 4607  (class class class)co 5896    .o comu 6439   N.cnpi 7301    .N cmi 7303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-ni 7333  df-mi 7335
This theorem is referenced by:  enqer  7387  addcmpblnq  7396  mulcmpblnq  7397  ordpipqqs  7403  addassnqg  7411  mulassnqg  7413  mulcanenq  7414  distrnqg  7416  ltsonq  7427  ltanqg  7429  ltmnqg  7430  ltexnqq  7437
  Copyright terms: Public domain W3C validator