Theorem mulasspig 7699

Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulasspig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( A .N ( B .N C ) ) )

Proof of Theorem mulasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7676	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7676	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7676	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnmass 6760	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1320	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
6		mulclpi 7695	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
7		mulpiord 7684	. . . . 5 |- ( ( ( A .N B ) e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N B ) .o C ) )
8	6, 7	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N B ) .o C ) )
9		mulpiord 7684	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
10	9	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) .o C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .o C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
12	8, 11	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
13	12	3impa 1225	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
14		mulclpi 7695	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. )
15		mulpiord 7684	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .N C ) ) )
16	14, 15	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .N C ) ) )
17		mulpiord 7684	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) = ( B .o C ) )
18	17	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .o ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
20	16, 19	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
21	20	3impb 1230	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( A .N ( B .N C ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   omcom 4737  (class class class)co 6085   .o comu 6685   N.cnpi 7639   .N cmi 7641

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-ni 7671  df-mi 7673

This theorem is used by:  enqer  7725  addcmpblnq  7734  mulcmpblnq  7735  ordpipqqs  7741  addassnqg  7749  mulassnqg  7751  mulcanenq  7752  distrnqg  7754  ltsonq  7765  ltanqg  7767  ltmnqg  7768  ltexnqq  7775