Theorem mulasspig 7140

Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulasspig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( A .N ( B .N C ) ) )

Proof of Theorem mulasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7117	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7117	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7117	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnmass 6383	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1258	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
6		mulclpi 7136	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
7		mulpiord 7125	. . . . 5 |- ( ( ( A .N B ) e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N B ) .o C ) )
8	6, 7	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N B ) .o C ) )
9		mulpiord 7125	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
10	9	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) .o C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .o C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
12	8, 11	eqtrd 2172	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
13	12	3impa 1176	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
14		mulclpi 7136	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. )
15		mulpiord 7125	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .N C ) ) )
16	14, 15	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .N C ) ) )
17		mulpiord 7125	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) = ( B .o C ) )
18	17	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
19	18	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .o ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
20	16, 19	eqtrd 2172	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
21	20	3impb 1177	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2182	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( A .N ( B .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   omcom 4504  (class class class)co 5774   .o comu 6311   N.cnpi 7080   .N cmi 7082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-ni 7112  df-mi 7114

This theorem is referenced by:  enqer  7166  addcmpblnq  7175  mulcmpblnq  7176  ordpipqqs  7182  addassnqg  7190  mulassnqg  7192  mulcanenq  7193  distrnqg  7195  ltsonq  7206  ltanqg  7208  ltmnqg  7209  ltexnqq  7216