Theorem mulasspig 7399

Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulasspig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( A .N ( B .N C ) ) )

Proof of Theorem mulasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7376	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7376	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7376	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnmass 6545	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1291	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
6		mulclpi 7395	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
7		mulpiord 7384	. . . . 5 |- ( ( ( A .N B ) e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N B ) .o C ) )
8	6, 7	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N B ) .o C ) )
9		mulpiord 7384	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
10	9	oveq1d 5937	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) .o C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .o C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
12	8, 11	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
13	12	3impa 1196	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
14		mulclpi 7395	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. )
15		mulpiord 7384	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .N C ) ) )
16	14, 15	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .N C ) ) )
17		mulpiord 7384	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) = ( B .o C ) )
18	17	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .o ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
20	16, 19	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
21	20	3impb 1201	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2239	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( A .N ( B .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   omcom 4626  (class class class)co 5922   .o comu 6472   N.cnpi 7339   .N cmi 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-ni 7371  df-mi 7373

This theorem is referenced by:  enqer  7425  addcmpblnq  7434  mulcmpblnq  7435  ordpipqqs  7441  addassnqg  7449  mulassnqg  7451  mulcanenq  7452  distrnqg  7454  ltsonq  7465  ltanqg  7467  ltmnqg  7468  ltexnqq  7475