ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulasspig Unicode version

Theorem mulasspig 7283
Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulasspig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( A  .N  ( B  .N  C
) ) )

Proof of Theorem mulasspig
StepHypRef Expression
1 pinn 7260 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 7260 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 7260 . . 3  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nnmass 6464 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1275 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
6 mulclpi 7279 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
7 mulpiord 7268 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  B
)  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C
)  =  ( ( A  .N  B )  .o  C ) )
86, 7sylan 281 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( ( A  .N  B
)  .o  C ) )
9 mulpiord 7268 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
109oveq1d 5866 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .o  C
)  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
1110adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .o  C )  =  ( ( A  .o  B
)  .o  C ) )
128, 11eqtrd 2203 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( ( A  .o  B
)  .o  C ) )
13123impa 1189 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
14 mulclpi 7279 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  .N  C
)  e.  N. )
15 mulpiord 7268 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  .N  C
)  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  .N  C
) ) )
1614, 15sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  .N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  .N  C ) ) )
17 mulpiord 7268 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  .N  C
)  =  ( B  .o  C ) )
1817oveq2d 5867 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  ( B  .N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
1918adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .o  ( B  .N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
2016, 19eqtrd 2203 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  .N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
21203impb 1194 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
225, 13, 213eqtr4d 2213 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( A  .N  ( B  .N  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   omcom 4572  (class class class)co 5851    .o comu 6391   N.cnpi 7223    .N cmi 7225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-oadd 6397  df-omul 6398  df-ni 7255  df-mi 7257
This theorem is referenced by:  enqer  7309  addcmpblnq  7318  mulcmpblnq  7319  ordpipqqs  7325  addassnqg  7333  mulassnqg  7335  mulcanenq  7336  distrnqg  7338  ltsonq  7349  ltanqg  7351  ltmnqg  7352  ltexnqq  7359
  Copyright terms: Public domain W3C validator