Theorem mulassnqg 7751

Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

Proof of Theorem mulassnqg

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7715	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		mulpipqqs 7740	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		mulpipqqs 7740	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		mulpipqqs 7740	. 2 |- ( ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N z ) .N v ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		mulpipqqs 7740	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N ( z .N v ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 7695	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
7	6	ad2ant2r 513	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N z ) e. N. )
8		mulclpi 7695	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
9	8	ad2ant2l 512	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
10	7, 9	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
11		mulclpi 7695	. . . 4 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
12	11	ad2ant2r 513	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
13		mulclpi 7695	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
14	13	ad2ant2l 512	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
15	12, 14	jca 306	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
16		mulasspig 7699	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
17	16	3adant1r 1262	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
18	17	3adant2r 1264	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
19	18	3adant3r 1266	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
20		mulasspig 7699	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
21	20	3adant1l 1261	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
22	21	3adant2l 1263	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
23	22	3adant3l 1265	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
24	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23	ecoviass 6919	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   N.cnpi 7639   .N cmi 7641   ~Q ceq 7646   Q.cnq 7647   .Q cmq 7650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-mi 7673  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-mqqs 7717

This theorem is used by:  recmulnqg  7758  halfnqq  7777  prarloclemarch  7785  ltrnqg  7787  addnqprl  7896  addnqpru  7897  appdivnq  7930  mulnqprl  7935  mulnqpru  7936  mullocprlem  7937  mulassprg  7948  1idprl  7957  1idpru  7958  recexprlem1ssl  8000  recexprlem1ssu  8001