Theorem mulassnqg 7527

Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

Proof of Theorem mulassnqg

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7491	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		mulpipqqs 7516	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		mulpipqqs 7516	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		mulpipqqs 7516	. 2 |- ( ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N z ) .N v ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		mulpipqqs 7516	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N ( z .N v ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 7471	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
7	6	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N z ) e. N. )
8		mulclpi 7471	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
9	8	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
10	7, 9	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
11		mulclpi 7471	. . . 4 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
12	11	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
13		mulclpi 7471	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
14	13	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
15	12, 14	jca 306	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
16		mulasspig 7475	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
17	16	3adant1r 1234	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
18	17	3adant2r 1236	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
19	18	3adant3r 1238	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
20		mulasspig 7475	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
21	20	3adant1l 1233	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
22	21	3adant2l 1235	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
23	22	3adant3l 1237	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
24	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23	ecoviass 6750	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177  (class class class)co 5962   N.cnpi 7415   .N cmi 7417   ~Q ceq 7422   Q.cnq 7423   .Q cmq 7426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-irdg 6474  df-oadd 6524  df-omul 6525  df-er 6638  df-ec 6640  df-qs 6644  df-ni 7447  df-mi 7449  df-mpq 7488  df-enq 7490  df-nqqs 7491  df-mqqs 7493

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7534  halfnqq  7553  prarloclemarch  7561  ltrnqg  7563  addnqprl  7672  addnqpru  7673  appdivnq  7706  mulnqprl  7711  mulnqpru  7712  mullocprlem  7713  mulassprg  7724  1idprl  7733  1idpru  7734  recexprlem1ssl  7776  recexprlem1ssu  7777