Theorem mulassnqg 7325

Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

Proof of Theorem mulassnqg

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7289	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		mulpipqqs 7314	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		mulpipqqs 7314	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		mulpipqqs 7314	. 2 |- ( ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N z ) .N v ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		mulpipqqs 7314	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N ( z .N v ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 7269	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
7	6	ad2ant2r 501	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N z ) e. N. )
8		mulclpi 7269	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
9	8	ad2ant2l 500	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
10	7, 9	jca 304	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
11		mulclpi 7269	. . . 4 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
12	11	ad2ant2r 501	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
13		mulclpi 7269	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
14	13	ad2ant2l 500	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
15	12, 14	jca 304	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
16		mulasspig 7273	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
17	16	3adant1r 1221	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
18	17	3adant2r 1223	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
19	18	3adant3r 1225	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
20		mulasspig 7273	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
21	20	3adant1l 1220	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
22	21	3adant2l 1222	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
23	22	3adant3l 1224	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
24	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23	ecoviass 6611	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   N.cnpi 7213   .N cmi 7215   ~Q ceq 7220   Q.cnq 7221   .Q cmq 7224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-mqqs 7291

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7332  halfnqq  7351  prarloclemarch  7359  ltrnqg  7361  addnqprl  7470  addnqpru  7471  appdivnq  7504  mulnqprl  7509  mulnqpru  7510  mullocprlem  7511  mulassprg  7522  1idprl  7531  1idpru  7532  recexprlem1ssl  7574  recexprlem1ssu  7575