Theorem mulassnqg 7594

Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

Proof of Theorem mulassnqg

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7558	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		mulpipqqs 7583	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		mulpipqqs 7583	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		mulpipqqs 7583	. 2 |- ( ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N z ) .N v ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		mulpipqqs 7583	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N ( z .N v ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 7538	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
7	6	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N z ) e. N. )
8		mulclpi 7538	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
9	8	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
10	7, 9	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
11		mulclpi 7538	. . . 4 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
12	11	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
13		mulclpi 7538	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
14	13	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
15	12, 14	jca 306	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
16		mulasspig 7542	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
17	16	3adant1r 1255	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
18	17	3adant2r 1257	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
19	18	3adant3r 1259	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
20		mulasspig 7542	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
21	20	3adant1l 1254	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
22	21	3adant2l 1256	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
23	22	3adant3l 1258	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
24	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23	ecoviass 6809	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6013   N.cnpi 7482   .N cmi 7484   ~Q ceq 7489   Q.cnq 7490   .Q cmq 7493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-mi 7516  df-mpq 7555  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-mqqs 7560

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7601  halfnqq  7620  prarloclemarch  7628  ltrnqg  7630  addnqprl  7739  addnqpru  7740  appdivnq  7773  mulnqprl  7778  mulnqpru  7779  mullocprlem  7780  mulassprg  7791  1idprl  7800  1idpru  7801  recexprlem1ssl  7843  recexprlem1ssu  7844