Theorem mulassnqg 7567

Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

Proof of Theorem mulassnqg

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7531	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		mulpipqqs 7556	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		mulpipqqs 7556	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		mulpipqqs 7556	. 2 |- ( ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N z ) .N v ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		mulpipqqs 7556	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N ( z .N v ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 7511	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
7	6	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N z ) e. N. )
8		mulclpi 7511	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
9	8	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
10	7, 9	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
11		mulclpi 7511	. . . 4 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
12	11	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
13		mulclpi 7511	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
14	13	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
15	12, 14	jca 306	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
16		mulasspig 7515	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
17	16	3adant1r 1255	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ z e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
18	17	3adant2r 1257	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
19	18	3adant3r 1259	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) .N v ) = ( x .N ( z .N v ) ) )
20		mulasspig 7515	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
21	20	3adant1l 1254	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
22	21	3adant2l 1256	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
23	22	3adant3l 1258	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
24	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23	ecoviass 6790	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A .Q B ) .Q C ) = ( A .Q ( B .Q C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6000   N.cnpi 7455   .N cmi 7457   ~Q ceq 7462   Q.cnq 7463   .Q cmq 7466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-mi 7489  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-mqqs 7533

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7574  halfnqq  7593  prarloclemarch  7601  ltrnqg  7603  addnqprl  7712  addnqpru  7713  appdivnq  7746  mulnqprl  7751  mulnqpru  7752  mullocprlem  7753  mulassprg  7764  1idprl  7773  1idpru  7774  recexprlem1ssl  7816  recexprlem1ssu  7817