ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulpiord GIF version

Theorem mulpiord 7118
Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulpiord ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))

Proof of Theorem mulpiord
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4566 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N))
2 fvres 5438 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (( ·o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ( ·o ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3 df-ov 5770 . . . 4 (𝐴 ·N 𝐵) = ( ·N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4 df-mi 7107 . . . . 5 ·N = ( ·o ↾ (N × N))
54fveq1i 5415 . . . 4 ( ·N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (( ·o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
63, 5eqtri 2158 . . 3 (𝐴 ·N 𝐵) = (( ·o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
7 df-ov 5770 . . 3 (𝐴 ·o 𝐵) = ( ·o ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
82, 6, 73eqtr4g 2195 . 2 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
91, 8syl 14 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3525   × cxp 4532  cres 4536  cfv 5118  (class class class)co 5767   ·o comu 6304  Ncnpi 7073   ·N cmi 7075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-res 4546  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-mi 7107
This theorem is referenced by:  mulidpi  7119  mulclpi  7129  mulcompig  7132  mulasspig  7133  distrpig  7134  mulcanpig  7136  ltmpig  7140  archnqq  7218  enq0enq  7232  addcmpblnq0  7244  mulcmpblnq0  7245  mulcanenq0ec  7246  addclnq0  7252  mulclnq0  7253  nqpnq0nq  7254  nqnq0a  7255  nqnq0m  7256  nq0m0r  7257  distrnq0  7260  addassnq0lemcl  7262
  Copyright terms: Public domain W3C validator