Theorem mulpiord 7379

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4692	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N))
2		fvres 5579	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (( ·o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ( ·o ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 5922	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = ( ·N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-mi 7368	. . . . 5 ⊢ ·N = ( ·o ↾ (N × N))
5	4	fveq1i 5556	. . . 4 ⊢ ( ·N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (( ·o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	3, 5	eqtri 2214	. . 3 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (( ·o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
7		df-ov 5922	. . 3 ⊢ (𝐴 ·o 𝐵) = ( ·o ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2251	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
9	1, 8	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3622   × cxp 4658   ↾ cres 4662  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ·_o comu 6469  Ncnpi 7334   ·_N cmi 7336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-res 4672  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-mi 7368

This theorem is referenced by:  mulidpi  7380  mulclpi  7390  mulcompig  7393  mulasspig  7394  distrpig  7395  mulcanpig  7397  ltmpig  7401  archnqq  7479  enq0enq  7493  addcmpblnq0  7505  mulcmpblnq0  7506  mulcanenq0ec  7507  addclnq0  7513  mulclnq0  7514  nqpnq0nq  7515  nqnq0a  7516  nqnq0m  7517  nq0m0r  7518  distrnq0  7521  addassnq0lemcl  7523