dvdsprmpweqle - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dvdsprmpweqle		Unicode version

Theorem dvdsprmpweqle 12338

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvdsprmpweqle	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem dvdsprmpweqle**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsprmpweq 12336	. . . 4 $/\$ $/\$
2	1	imp 124	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
3		simplr 528	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	3	nn0zd 9375	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		simp3 999	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	nn0zd 9375	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		zlelttric 9300	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
10		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		prmnn 12112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13	12	nnnn0d 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14	13	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
17	15, 16	nn0expcld 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
18	17	nn0zd 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
19	12	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20	19	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
22	12	nnap0d 8967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 #
23	22	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ #
25		nn0z 9275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
27	21, 24, 26	expap0d 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
28		0zd 9267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
29		zapne 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ #
30	18, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
33	15, 32	nn0expcld 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	nn0zd 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
35		dvdsval2 11799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
36	18, 31, 34, 35	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
37	32	nn0zd 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
38	21, 24, 26, 37	expsubapd 10667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
41	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
43		nn0cn 9188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
44	43	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
46		nn0cn 9188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	subcld 8270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	44, 46	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		negsubdi2 8218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	5	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		ltsubnn0 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
57	56	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	53, 57	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		expineg2 10531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$ $/\$
60	41, 42, 49, 58, 59	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	12	nnred 8934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
63	62	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65, 57	reexpcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		nn0z 9275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
68	67	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
69	68, 25	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		znnsub 9306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
72	71	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		prmgt1 12134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
74	73	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		expgt1 10560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
78	65, 72, 76, 77	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	66, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	80	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
82	80	breq2d 4017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
83	81, 82	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
84	79, 83	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	53, 84	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		recnz 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	pm2.21d 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	61, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
91	90	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
92	40, 91	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
93	36, 92	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	11, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
99	98	com23 78	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
100	99	imp41 353	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	com12 30	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	jao1i 796	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	9, 102	mpcom 36	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	103, 104	jca 306	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	reximdva 2579	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	2, 107	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	ex 115	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347

wrex 2456 class class class wbr 4005 (class class class)co 5877

cc 7811

cr 7812

cc0 7813

c1 7814

clt 7994

cle 7995

cmin 8130

cneg 8131 # cap 8540

cdiv 8631

cn 8921

cn0 9178

cz 9255

cexp 10521

cdvds 11796

cprime 12109

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-1o 6419 df-2o 6420 df-er 6537 df-en 6743 df-sup 6985 df-inf 6986 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-xnn0 9242 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-fl 10272 df-mod 10325 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-dvds 11797 df-gcd 11946 df-prm 12110 df-pc 12287

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator