dvdsprmpweqle - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem dvdsprmpweqle 12268

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvdsprmpweqle	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem dvdsprmpweqle**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsprmpweq 12266	. . . 4 $/\$ $/\$
2	1	imp 123	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
3		simplr 520	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	3	nn0zd 9311	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		simp3 989	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	nn0zd 9311	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		zlelttric 9236	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
9	4, 7, 8	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
10		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		prmnn 12042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13	12	nnnn0d 9167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14	13	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
17	15, 16	nn0expcld 10611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
18	17	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
19	12	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20	19	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
22	12	nnap0d 8903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 #
23	22	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #
24	23	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ #
25		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26	25	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
27	21, 24, 26	expap0d 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
28		0zd 9203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
29		zapne 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ #
30	18, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
31	27, 30	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	5	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
33	15, 32	nn0expcld 10611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
35		dvdsval2 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
36	18, 31, 34, 35	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
37	32	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
38	21, 24, 26, 37	expsubapd 10599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	eqcomd 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
41	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
43		nn0cn 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
44	43	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
46		nn0cn 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
47	46	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	subcld 8209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	44, 46	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		negsubdi2 8157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	5	anim1ci 339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		ltsubnn0 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
57	56	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	53, 57	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		expineg2 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$ $/\$
60	41, 42, 49, 58, 59	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	12	nnred 8870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
63	62	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
64	63	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
65	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65, 57	reexpcld 10605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
68	67	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
69	68, 25	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		znnsub 9242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
72	71	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		prmgt1 12064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
74	73	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
76	75	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		expgt1 10493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
78	65, 72, 76, 77	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	66, 78	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	80	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
82	80	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
83	81, 82	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
84	79, 83	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	53, 84	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		recnz 9284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	pm2.21d 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	61, 88	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
91	90	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
92	40, 91	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
93	36, 92	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	11, 94	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	ex 114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
99	98	com23 78	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
100	99	imp41 351	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	com12 30	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	jao1i 786	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	9, 102	mpcom 36	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		simpr 109	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	103, 104	jca 304	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	ex 114	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	reximdva 2568	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	2, 107	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	ex 114	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136

wne 2336

wrex 2445 class class class wbr 3982 (class class class)co 5842

cc 7751

cr 7752

cc0 7753

c1 7754

clt 7933

cle 7934

cmin 8069

cneg 8070 # cap 8479

cdiv 8568

cn 8857

cn0 9114

cz 9191

cexp 10454

cdvds 11727

cprime 12039

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-isom 5197 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-frec 6359 df-1o 6384 df-2o 6385 df-er 6501 df-en 6707 df-sup 6949 df-inf 6950 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-xnn0 9178 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-fz 9945 df-fzo 10078 df-fl 10205 df-mod 10258 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941 df-dvds 11728 df-gcd 11876 df-prm 12040 df-pc 12217

This theorem is referenced by: (None)

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