dvdsprmpweqle - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem dvdsprmpweqle 12973

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvdsprmpweqle	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem dvdsprmpweqle**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsprmpweq 12971	. . . 4 $/\$ $/\$
2	1	imp 124	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
3		simplr 529	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	3	nn0zd 9644	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		simp3 1026	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	nn0zd 9644	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		zlelttric 9568	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
10		breq1 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		prmnn 12745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13	12	nnnn0d 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14	13	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
17	15, 16	nn0expcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
18	17	nn0zd 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
19	12	nncnd 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20	19	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
22	12	nnap0d 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 #
23	22	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ #
25		nn0z 9543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
27	21, 24, 26	expap0d 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
28		0zd 9535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
29		zapne 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ #
30	18, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
33	15, 32	nn0expcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	nn0zd 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
35		dvdsval2 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
36	18, 31, 34, 35	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
37	32	nn0zd 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
38	21, 24, 26, 37	expsubapd 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
41	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
43		nn0cn 9454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
44	43	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
46		nn0cn 9454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	subcld 8532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	44, 46	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		negsubdi2 8480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	5	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		ltsubnn0 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
57	56	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	53, 57	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		expineg2 10856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$ $/\$
60	41, 42, 49, 58, 59	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	12	nnred 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
63	62	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65, 57	reexpcld 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		nn0z 9543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
68	67	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
69	68, 25	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		znnsub 9575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
72	71	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		prmgt1 12767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
74	73	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		expgt1 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
78	65, 72, 76, 77	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	66, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	80	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
82	80	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
83	81, 82	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
84	79, 83	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	53, 84	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		recnz 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	pm2.21d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	61, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
91	90	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
92	40, 91	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
93	36, 92	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	11, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
99	98	com23 78	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
100	99	imp41 353	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	com12 30	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	jao1i 804	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	9, 102	mpcom 36	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	103, 104	jca 306	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	reximdva 2635	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	2, 107	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	ex 115	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

wne 2403

wrex 2512 class class class wbr 4093 (class class class)co 6028

cc 8073

cr 8074

cc0 8075

c1 8076

clt 8256

cle 8257

cmin 8392

cneg 8393 # cap 8803

cdiv 8894

cn 9185

cn0 9444

cz 9523

cexp 10846

cdvds 12411

cprime 12742

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-1o 6625 df-2o 6626 df-er 6745 df-en 6953 df-sup 7226 df-inf 7227 df-pnf 8258 df-mnf 8259 df-xr 8260 df-ltxr 8261 df-le 8262 df-sub 8394 df-neg 8395 df-reap 8797 df-ap 8804 df-div 8895 df-inn 9186 df-2 9244 df-3 9245 df-4 9246 df-n0 9445 df-xnn0 9510 df-z 9524 df-uz 9800 df-q 9898 df-rp 9933 df-fz 10289 df-fzo 10423 df-fl 10576 df-mod 10631 df-seqfrec 10756 df-exp 10847 df-cj 11465 df-re 11466 df-im 11467 df-rsqrt 11621 df-abs 11622 df-dvds 12412 df-gcd 12588 df-prm 12743 df-pc 12921

This theorem is referenced by: (None)

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