dvdsprmpweqle - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dvdsprmpweqle		Unicode version

Theorem dvdsprmpweqle 13094

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvdsprmpweqle	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem dvdsprmpweqle**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsprmpweq 13092	. . . 4 $/\$ $/\$
2	1	imp 124	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
3		simplr 533	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	3	nn0zd 9745	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		simp3 1030	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	nn0zd 9745	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		zlelttric 9668	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
9	4, 7, 8	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
10		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		prmnn 12866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13	12	nnnn0d 9599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14	13	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
17	15, 16	nn0expcld 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
18	17	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
19	12	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20	19	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
22	12	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 #
23	22	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ #
25		nn0z 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
27	21, 24, 26	expap0d 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
28		0zd 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
29		zapne 9698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ #
30	18, 28, 29	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
33	15, 32	nn0expcld 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
35		dvdsval2 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
36	18, 31, 34, 35	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
37	32	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
38	21, 24, 26, 37	expsubapd 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
41	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
43		nn0cn 9552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
44	43	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
46		nn0cn 9552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	subcld 8627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	44, 46	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		negsubdi2 8575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	5	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		ltsubnn0 9691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
57	56	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	53, 57	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		expineg2 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$ $/\$
60	41, 42, 49, 58, 59	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	12	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
63	62	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65, 57	reexpcld 11106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		nn0z 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
68	67	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
69	68, 25	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		znnsub 9675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
72	71	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		prmgt1 12888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
74	73	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		expgt1 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
78	65, 72, 76, 77	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	66, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	80	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
82	80	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
83	81, 82	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
84	79, 83	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	53, 84	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		recnz 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	pm2.21d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	61, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
91	90	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
92	40, 91	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
93	36, 92	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	11, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
99	98	com23 78	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
100	99	imp41 353	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	com12 30	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	jao1i 808	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	9, 102	mpcom 36	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	103, 104	jca 306	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	reximdva 2652	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	2, 107	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	ex 115	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wrex 2529 class class class wbr 4125 (class class class)co 6075

cc 8167

cr 8168

cc0 8169

c1 8170

clt 8350

cle 8351

cmin 8487

cneg 8488 # cap 8899

cdiv 8992

cn 9283

cn0 9542

cz 9623

cexp 10953

cdvds 12532

cprime 12863

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287 ax-arch 8288 ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-isom 5381 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-frec 6652 df-1o 6677 df-2o 6678 df-er 6797 df-en 7013 df-sup 7314 df-inf 7315 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-2 9342 df-3 9343 df-4 9344 df-n0 9543 df-xnn0 9610 df-z 9624 df-uz 9901 df-q 9999 df-rp 10034 df-fz 10391 df-fzo 10528 df-fl 10683 df-mod 10738 df-seqfrec 10863 df-exp 10954 df-cj 11585 df-re 11586 df-im 11587 df-rsqrt 11742 df-abs 11743 df-dvds 12533 df-gcd 12709 df-prm 12864 df-pc 13042

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator