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Theorem dvdsprmpweqle 12335
Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsprmpweqle  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( A  ||  ( P ^ N )  ->  E. n  e.  NN0  ( n  <_  N  /\  A  =  ( P ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N    P, n

Proof of Theorem dvdsprmpweqle
StepHypRef Expression
1 dvdsprmpweq 12333 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( A  ||  ( P ^ N )  ->  E. n  e.  NN0  A  =  ( P ^ n ) ) )
21imp 124 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N ) )  ->  E. n  e.  NN0  A  =  ( P ^
n ) )
3 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  ->  n  e.  NN0 )
43nn0zd 9372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  ->  n  e.  ZZ )
5 simp3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
65ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  ->  N  e.  NN0 )
76nn0zd 9372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  ->  N  e.  ZZ )
8 zlelttric 9297 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  N  \/  N  <  n ) )
94, 7, 8syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  -> 
( n  <_  N  \/  N  <  n ) )
10 breq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  ( P ^
n )  ->  ( A  ||  ( P ^ N )  <->  ( P ^ n )  ||  ( P ^ N ) ) )
1110adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^ n ) )  ->  ( A  ||  ( P ^ N
)  <->  ( P ^
n )  ||  ( P ^ N ) ) )
12 prmnn 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
1312nnnn0d 9228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e. 
NN0 )
14133ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  P  e.  NN0 )
1514adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  P  e.  NN0 )
16 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
1715, 16nn0expcld 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ n
)  e.  NN0 )
1817nn0zd 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ n
)  e.  ZZ )
1912nncnd 8932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
20193ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  P  e.  CC )
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  P  e.  CC )
2212nnap0d 8964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Prime  ->  P #  0 )
23223ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  P #  0 )
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  P #  0 )
25 nn0z 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
2625adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ZZ )
2721, 24, 26expap0d 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ n
) #  0 )
28 0zd 9264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  e.  ZZ )
29 zapne 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P ^ n
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^
n ) #  0  <->  ( P ^ n )  =/=  0 ) )
3018, 28, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( P ^
n ) #  0  <->  ( P ^ n )  =/=  0 ) )
3127, 30mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ n
)  =/=  0 )
325adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
3315, 32nn0expcld 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ N
)  e.  NN0 )
3433nn0zd 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ N
)  e.  ZZ )
35 dvdsval2 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P ^ n
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ n )  =/=  0  /\  ( P ^ N )  e.  ZZ )  ->  (
( P ^ n
)  ||  ( P ^ N )  <->  ( ( P ^ N )  / 
( P ^ n
) )  e.  ZZ ) )
3618, 31, 34, 35syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( P ^
n )  ||  ( P ^ N )  <->  ( ( P ^ N )  / 
( P ^ n
) )  e.  ZZ ) )
3732nn0zd 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
3821, 24, 26, 37expsubapd 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ ( N  -  n )
)  =  ( ( P ^ N )  /  ( P ^
n ) ) )
3938eqcomd 2183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( P ^ N )  /  ( P ^ n ) )  =  ( P ^
( N  -  n
) ) )
4039eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( ( P ^ N )  / 
( P ^ n
) )  e.  ZZ  <->  ( P ^ ( N  -  n ) )  e.  ZZ ) )
4121adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  P  e.  CC )
4224adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  P #  0
)
43 nn0cn 9185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
44433ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  N  e.  CC )
4544adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
46 nn0cn 9185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
4746adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  CC )
4845, 47subcld 8267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  -  n
)  e.  CC )
4948adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( N  -  n )  e.  CC )
5044, 46anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  CC  /\  n  e.  CC ) )
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( N  e.  CC  /\  n  e.  CC ) )
52 negsubdi2 8215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  CC  /\  n  e.  CC )  -> 
-u ( N  -  n )  =  ( n  -  N ) )
5351, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  -u ( N  -  n )  =  ( n  -  N
) )
545anim1ci 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
55 ltsubnn0 9319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <  n  ->  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
5654, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  <  n  ->  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
5756imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
5853, 57eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  -u ( N  -  n )  e. 
NN0 )
59 expineg2 10528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  P #  0 )  /\  ( ( N  -  n )  e.  CC  /\  -u ( N  -  n
)  e.  NN0 )
)  ->  ( P ^ ( N  -  n ) )  =  ( 1  /  ( P ^ -u ( N  -  n ) ) ) )
6041, 42, 49, 58, 59syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( P ^ ( N  -  n ) )  =  ( 1  /  ( P ^ -u ( N  -  n ) ) ) )
6160eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( ( P ^ ( N  -  n ) )  e.  ZZ  <->  ( 1  / 
( P ^ -u ( N  -  n )
) )  e.  ZZ ) )
6212nnred 8931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
63623ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  P  e.  RR )
6463adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
6564adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  P  e.  RR )
6665, 57reexpcld 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( P ^ ( n  -  N ) )  e.  RR )
67 nn0z 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
68673ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
6968, 25anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )
70 znnsub 9303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN ) )
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  <  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN ) )
7271biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN )
73 prmgt1 12131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( P  e.  Prime  ->  1  < 
P )
74733ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  1  <  P )
7574adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
1  <  P )
7675adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  1  <  P )
77 expgt1 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e.  RR  /\  ( n  -  N
)  e.  NN  /\  1  <  P )  -> 
1  <  ( P ^ ( n  -  N ) ) )
7865, 72, 76, 77syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  1  <  ( P ^ ( n  -  N ) ) )
7966, 78jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( ( P ^ ( n  -  N ) )  e.  RR  /\  1  < 
( P ^ (
n  -  N ) ) ) )
80 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -u ( N  -  n
)  =  ( n  -  N )  -> 
( P ^ -u ( N  -  n )
)  =  ( P ^ ( n  -  N ) ) )
8180eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -u ( N  -  n
)  =  ( n  -  N )  -> 
( ( P ^ -u ( N  -  n
) )  e.  RR  <->  ( P ^ ( n  -  N ) )  e.  RR ) )
8280breq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -u ( N  -  n
)  =  ( n  -  N )  -> 
( 1  <  ( P ^ -u ( N  -  n ) )  <->  1  <  ( P ^ ( n  -  N ) ) ) )
8381, 82anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -u ( N  -  n
)  =  ( n  -  N )  -> 
( ( ( P ^ -u ( N  -  n ) )  e.  RR  /\  1  <  ( P ^ -u ( N  -  n )
) )  <->  ( ( P ^ ( n  -  N ) )  e.  RR  /\  1  < 
( P ^ (
n  -  N ) ) ) ) )
8479, 83syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( -u ( N  -  n )  =  ( n  -  N )  ->  (
( P ^ -u ( N  -  n )
)  e.  RR  /\  1  <  ( P ^ -u ( N  -  n
) ) ) ) )
8553, 84mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( ( P ^ -u ( N  -  n ) )  e.  RR  /\  1  <  ( P ^ -u ( N  -  n )
) ) )
86 recnz 9345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P ^ -u ( N  -  n )
)  e.  RR  /\  1  <  ( P ^ -u ( N  -  n
) ) )  ->  -.  ( 1  /  ( P ^ -u ( N  -  n ) ) )  e.  ZZ )
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  -.  (
1  /  ( P ^ -u ( N  -  n ) ) )  e.  ZZ )
8887pm2.21d 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( (
1  /  ( P ^ -u ( N  -  n ) ) )  e.  ZZ  ->  n  <_  N ) )
8961, 88sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  N  <  n
)  ->  ( ( P ^ ( N  -  n ) )  e.  ZZ  ->  n  <_  N ) )
9089ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  <  n  ->  ( ( P ^
( N  -  n
) )  e.  ZZ  ->  n  <_  N )
) )
9190com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( P ^
( N  -  n
) )  e.  ZZ  ->  ( N  <  n  ->  n  <_  N )
) )
9240, 91sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( ( P ^ N )  / 
( P ^ n
) )  e.  ZZ  ->  ( N  <  n  ->  n  <_  N )
) )
9336, 92sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( P ^
n )  ||  ( P ^ N )  -> 
( N  <  n  ->  n  <_  N )
) )
9493adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^ n ) )  ->  ( ( P ^ n )  ||  ( P ^ N )  ->  ( N  < 
n  ->  n  <_  N ) ) )
9511, 94sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^ n ) )  ->  ( A  ||  ( P ^ N
)  ->  ( N  <  n  ->  n  <_  N ) ) )
9695ex 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A  =  ( P ^ n )  ->  ( A  ||  ( P ^ N )  ->  ( N  < 
n  ->  n  <_  N ) ) ) )
9796com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A  ||  ( P ^ N )  -> 
( A  =  ( P ^ n )  ->  ( N  < 
n  ->  n  <_  N ) ) ) )
9897ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( A  ||  ( P ^ N )  -> 
( A  =  ( P ^ n )  ->  ( N  < 
n  ->  n  <_  N ) ) ) ) )
9998com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( A  ||  ( P ^ N )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( A  =  ( P ^ n )  -> 
( N  <  n  ->  n  <_  N )
) ) ) )
10099imp41 353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  -> 
( N  <  n  ->  n  <_  N )
)
101100com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( N  <  n  ->  (
( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  ->  n  <_  N ) )
102101jao1i 796 . . . . . . 7  |-  ( ( n  <_  N  \/  N  <  n )  -> 
( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^ n ) )  ->  n  <_  N
) )
1039, 102mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  ->  n  <_  N )
104 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  ->  A  =  ( P ^ n ) )
105103, 104jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N
) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  A  =  ( P ^
n ) )  -> 
( n  <_  N  /\  A  =  ( P ^ n ) ) )
106105ex 115 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A  =  ( P ^ n
)  ->  ( n  <_  N  /\  A  =  ( P ^ n
) ) ) )
107106reximdva 2579 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N ) )  -> 
( E. n  e. 
NN0  A  =  ( P ^ n )  ->  E. n  e.  NN0  ( n  <_  N  /\  A  =  ( P ^ n ) ) ) )
1082, 107mpd 13 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  /\  A  ||  ( P ^ N ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( n  <_  N  /\  A  =  ( P ^ n ) ) )
109108ex 115 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( A  ||  ( P ^ N )  ->  E. n  e.  NN0  ( n  <_  N  /\  A  =  ( P ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   E.wrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    < clt 7991    <_ cle 7992    - cmin 8127   -ucneg 8128   # cap 8537    / cdiv 8628   NNcn 8918   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ^cexp 10518    || cdvds 11793   Primecprime 12106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-xnn0 9239  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794  df-gcd 11943  df-prm 12107  df-pc 12284
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