dvdsprmpweqle - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem dvdsprmpweqle 12245

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvdsprmpweqle	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem dvdsprmpweqle**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsprmpweq 12243	. . . 4 $/\$ $/\$
2	1	imp 123	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
3		simplr 520	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	3	nn0zd 9302	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		simp3 988	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	nn0zd 9302	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		zlelttric 9227	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
9	4, 7, 8	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
10		breq1 3979	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		prmnn 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13	12	nnnn0d 9158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14	13	3ad2ant1 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
17	15, 16	nn0expcld 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
18	17	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
19	12	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20	19	3ad2ant1 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
22	12	nnap0d 8894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 #
23	22	3ad2ant1 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #
24	23	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ #
25		nn0z 9202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26	25	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
27	21, 24, 26	expap0d 10583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
28		0zd 9194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
29		zapne 9256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ #
30	18, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ #
31	27, 30	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	5	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
33	15, 32	nn0expcld 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
35		dvdsval2 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
36	18, 31, 34, 35	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
37	32	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
38	21, 24, 26, 37	expsubapd 10588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	eqcomd 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	eleq1d 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
41	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
43		nn0cn 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
44	43	3ad2ant3 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
46		nn0cn 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
47	46	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	subcld 8200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	44, 46	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		negsubdi2 8148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	5	anim1ci 339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		ltsubnn0 9249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
57	56	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	53, 57	eqeltrd 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		expineg2 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ # $/\$ $/\$
60	41, 42, 49, 58, 59	syl22anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	eleq1d 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	12	nnred 8861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
63	62	3ad2ant1 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
64	63	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
65	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65, 57	reexpcld 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		nn0z 9202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
68	67	3ad2ant3 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
69	68, 25	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		znnsub 9233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
72	71	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		prmgt1 12043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
74	73	3ad2ant1 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
76	75	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		expgt1 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
78	65, 72, 76, 77	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	66, 78	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		oveq2 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	80	eleq1d 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
82	80	breq2d 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
83	81, 82	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
84	79, 83	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	53, 84	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		recnz 9275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	pm2.21d 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	61, 88	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
91	90	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
92	40, 91	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
93	36, 92	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	11, 94	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	ex 114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
99	98	com23 78	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
100	99	imp41 351	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	com12 30	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	jao1i 786	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	9, 102	mpcom 36	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		simpr 109	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	103, 104	jca 304	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	ex 114	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	reximdva 2566	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	2, 107	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	ex 114	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 $/\$ w3a 967

wceq 1342

wcel 2135

wne 2334

wrex 2443 class class class wbr 3976 (class class class)co 5836

cc 7742

cr 7743

cc0 7744

c1 7745

clt 7924

cle 7925

cmin 8060

cneg 8061 # cap 8470

cdiv 8559

cn 8848

cn0 9105

cz 9182

cexp 10444

cdvds 11713

cprime 12018

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1434 ax-7 1435 ax-gen 1436 ax-ie1 1480 ax-ie2 1481 ax-8 1491 ax-10 1492 ax-11 1493 ax-i12 1494 ax-bndl 1496 ax-4 1497 ax-17 1513 ax-i9 1517 ax-ial 1521 ax-i5r 1522 ax-13 2137 ax-14 2138 ax-ext 2146 ax-coll 4091 ax-sep 4094 ax-nul 4102 ax-pow 4147 ax-pr 4181 ax-un 4405 ax-setind 4508 ax-iinf 4559 ax-cnex 7835 ax-resscn 7836 ax-1cn 7837 ax-1re 7838 ax-icn 7839 ax-addcl 7840 ax-addrcl 7841 ax-mulcl 7842 ax-mulrcl 7843 ax-addcom 7844 ax-mulcom 7845 ax-addass 7846 ax-mulass 7847 ax-distr 7848 ax-i2m1 7849 ax-0lt1 7850 ax-1rid 7851 ax-0id 7852 ax-rnegex 7853 ax-precex 7854 ax-cnre 7855 ax-pre-ltirr 7856 ax-pre-ltwlin 7857 ax-pre-lttrn 7858 ax-pre-apti 7859 ax-pre-ltadd 7860 ax-pre-mulgt0 7861 ax-pre-mulext 7862 ax-arch 7863 ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 968 df-3an 969 df-tru 1345 df-fal 1348 df-nf 1448 df-sb 1750 df-eu 2016 df-mo 2017 df-clab 2151 df-cleq 2157 df-clel 2160 df-nfc 2295 df-ne 2335 df-nel 2430 df-ral 2447 df-rex 2448 df-reu 2449 df-rmo 2450 df-rab 2451 df-v 2723 df-sbc 2947 df-csb 3041 df-dif 3113 df-un 3115 df-in 3117 df-ss 3124 df-nul 3405 df-if 3516 df-pw 3555 df-sn 3576 df-pr 3577 df-op 3579 df-uni 3784 df-int 3819 df-iun 3862 df-br 3977 df-opab 4038 df-mpt 4039 df-tr 4075 df-id 4265 df-po 4268 df-iso 4269 df-iord 4338 df-on 4340 df-ilim 4341 df-suc 4343 df-iom 4562 df-xp 4604 df-rel 4605 df-cnv 4606 df-co 4607 df-dm 4608 df-rn 4609 df-res 4610 df-ima 4611 df-iota 5147 df-fun 5184 df-fn 5185 df-f 5186 df-f1 5187 df-fo 5188 df-f1o 5189 df-fv 5190 df-isom 5191 df-riota 5792 df-ov 5839 df-oprab 5840 df-mpo 5841 df-1st 6100 df-2nd 6101 df-recs 6264 df-frec 6350 df-1o 6375 df-2o 6376 df-er 6492 df-en 6698 df-sup 6940 df-inf 6941 df-pnf 7926 df-mnf 7927 df-xr 7928 df-ltxr 7929 df-le 7930 df-sub 8062 df-neg 8063 df-reap 8464 df-ap 8471 df-div 8560 df-inn 8849 df-2 8907 df-3 8908 df-4 8909 df-n0 9106 df-xnn0 9169 df-z 9183 df-uz 9458 df-q 9549 df-rp 9581 df-fz 9936 df-fzo 10068 df-fl 10195 df-mod 10248 df-seqfrec 10371 df-exp 10445 df-cj 10770 df-re 10771 df-im 10772 df-rsqrt 10926 df-abs 10927 df-dvds 11714 df-gcd 11861 df-prm 12019 df-pc 12194

This theorem is referenced by: (None)

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