Theorem negsubdi2 8302

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubdi 8299	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))
2		negcl 8243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3		addcom 8180	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + -𝐴))
4	2, 3	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + -𝐴))
5		negsub 8291	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
6	5	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
7	1, 4, 6	3eqtrd 2233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7894   + caddc 7899   − cmin 8214  -cneg 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217

This theorem is referenced by:  neg2sub  8303  negsubdi2d  8370  subeqrev  8419  mulsub2  8445  div2subap  8881  elz2  9414  fzshftral  10200  sqsubswap  10708  abssub  11283  abs2difabs  11290  3dvds  12046  dvdsprmpweqle  12531  sin2pim  15133  cos2pim  15134  ptolemy  15144  1sgm2ppw  15315  mersenne  15317