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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > expmul | Unicode version |
Description: Product of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.) |
Ref | Expression |
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expmul |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 5905 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | oveq2d 5913 |
. . . . . 6
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3 | oveq2 5905 |
. . . . . 6
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4 | 2, 3 | eqeq12d 2204 |
. . . . 5
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5 | 4 | imbi2d 230 |
. . . 4
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6 | oveq2 5905 |
. . . . . . 7
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7 | 6 | oveq2d 5913 |
. . . . . 6
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8 | oveq2 5905 |
. . . . . 6
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9 | 7, 8 | eqeq12d 2204 |
. . . . 5
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10 | 9 | imbi2d 230 |
. . . 4
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11 | oveq2 5905 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | oveq2d 5913 |
. . . . . 6
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13 | oveq2 5905 |
. . . . . 6
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14 | 12, 13 | eqeq12d 2204 |
. . . . 5
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15 | 14 | imbi2d 230 |
. . . 4
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16 | oveq2 5905 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | oveq2d 5913 |
. . . . . 6
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18 | oveq2 5905 |
. . . . . 6
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19 | 17, 18 | eqeq12d 2204 |
. . . . 5
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20 | 19 | imbi2d 230 |
. . . 4
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21 | nn0cn 9217 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | mul01d 8381 |
. . . . . . 7
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23 | 22 | oveq2d 5913 |
. . . . . 6
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24 | exp0 10558 |
. . . . . 6
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25 | 23, 24 | sylan9eqr 2244 |
. . . . 5
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26 | expcl 10572 |
. . . . . 6
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27 | exp0 10558 |
. . . . . 6
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28 | 26, 27 | syl 14 |
. . . . 5
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29 | 25, 28 | eqtr4d 2225 |
. . . 4
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30 | oveq1 5904 |
. . . . . . 7
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31 | nn0cn 9217 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | ax-1cn 7935 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | adddi 7974 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | 32, 33 | mp3an3 1337 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | mulrid 7985 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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36 | 35 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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37 | 36 | oveq2d 5913 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | 34, 37 | eqtrd 2222 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | 21, 31, 38 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 39 | adantll 476 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 40 | oveq2d 5913 |
. . . . . . . . 9
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42 | simpll 527 |
. . . . . . . . . 10
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43 | nn0mulcl 9243 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 43 | adantll 476 |
. . . . . . . . . 10
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45 | simplr 528 |
. . . . . . . . . 10
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46 | expadd 10596 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 42, 44, 45, 46 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . 9
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48 | 41, 47 | eqtrd 2222 |
. . . . . . . 8
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49 | expp1 10561 |
. . . . . . . . 9
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50 | 26, 49 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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51 | 48, 50 | eqeq12d 2204 |
. . . . . . 7
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52 | 30, 51 | imbitrrid 156 |
. . . . . 6
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53 | 52 | expcom 116 |
. . . . 5
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54 | 53 | a2d 26 |
. . . 4
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55 | 5, 10, 15, 20, 29, 54 | nn0ind 9398 |
. . 3
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56 | 55 | expdcom 1453 |
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57 | 56 | 3imp 1195 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-mulrcl 7941 ax-addcom 7942 ax-mulcom 7943 ax-addass 7944 ax-mulass 7945 ax-distr 7946 ax-i2m1 7947 ax-0lt1 7948 ax-1rid 7949 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-precex 7952 ax-cnre 7953 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-ltwlin 7955 ax-pre-lttrn 7956 ax-pre-apti 7957 ax-pre-ltadd 7958 ax-pre-mulgt0 7959 ax-pre-mulext 7960 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5852 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-recs 6331 df-frec 6417 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-sub 8161 df-neg 8162 df-reap 8563 df-ap 8570 df-div 8661 df-inn 8951 df-n0 9208 df-z 9285 df-uz 9560 df-seqfrec 10479 df-exp 10554 |
This theorem is referenced by: expmulzap 10600 expnass 10660 expmuld 10691 |
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