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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > expmul | Unicode version |
Description: Product of exponents law for positive integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.) |
Ref | Expression |
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expmul |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 5734 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | oveq2d 5742 |
. . . . . 6
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3 | oveq2 5734 |
. . . . . 6
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4 | 2, 3 | eqeq12d 2127 |
. . . . 5
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5 | 4 | imbi2d 229 |
. . . 4
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6 | oveq2 5734 |
. . . . . . 7
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7 | 6 | oveq2d 5742 |
. . . . . 6
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8 | oveq2 5734 |
. . . . . 6
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9 | 7, 8 | eqeq12d 2127 |
. . . . 5
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10 | 9 | imbi2d 229 |
. . . 4
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11 | oveq2 5734 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | oveq2d 5742 |
. . . . . 6
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13 | oveq2 5734 |
. . . . . 6
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14 | 12, 13 | eqeq12d 2127 |
. . . . 5
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15 | 14 | imbi2d 229 |
. . . 4
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16 | oveq2 5734 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | oveq2d 5742 |
. . . . . 6
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18 | oveq2 5734 |
. . . . . 6
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19 | 17, 18 | eqeq12d 2127 |
. . . . 5
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20 | 19 | imbi2d 229 |
. . . 4
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21 | nn0cn 8884 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | mul01d 8067 |
. . . . . . 7
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23 | 22 | oveq2d 5742 |
. . . . . 6
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24 | exp0 10183 |
. . . . . 6
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25 | 23, 24 | sylan9eqr 2167 |
. . . . 5
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26 | expcl 10197 |
. . . . . 6
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27 | exp0 10183 |
. . . . . 6
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28 | 26, 27 | syl 14 |
. . . . 5
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29 | 25, 28 | eqtr4d 2148 |
. . . 4
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30 | oveq1 5733 |
. . . . . . 7
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31 | nn0cn 8884 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | ax-1cn 7631 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | adddi 7669 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | 32, 33 | mp3an3 1285 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | mulid1 7680 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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36 | 35 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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37 | 36 | oveq2d 5742 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | 34, 37 | eqtrd 2145 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | 21, 31, 38 | syl2an 285 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 39 | adantll 465 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 40 | oveq2d 5742 |
. . . . . . . . 9
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42 | simpll 501 |
. . . . . . . . . 10
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43 | nn0mulcl 8910 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 43 | adantll 465 |
. . . . . . . . . 10
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45 | simplr 502 |
. . . . . . . . . 10
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46 | expadd 10221 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 42, 44, 45, 46 | syl3anc 1197 |
. . . . . . . . 9
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48 | 41, 47 | eqtrd 2145 |
. . . . . . . 8
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49 | expp1 10186 |
. . . . . . . . 9
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50 | 26, 49 | sylan 279 |
. . . . . . . 8
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51 | 48, 50 | eqeq12d 2127 |
. . . . . . 7
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52 | 30, 51 | syl5ibr 155 |
. . . . . 6
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53 | 52 | expcom 115 |
. . . . 5
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54 | 53 | a2d 26 |
. . . 4
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55 | 5, 10, 15, 20, 29, 54 | nn0ind 9062 |
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56 | 55 | expdcom 1399 |
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57 | 56 | 3imp 1156 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-coll 4001 ax-sep 4004 ax-nul 4012 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-iinf 4460 ax-cnex 7629 ax-resscn 7630 ax-1cn 7631 ax-1re 7632 ax-icn 7633 ax-addcl 7634 ax-addrcl 7635 ax-mulcl 7636 ax-mulrcl 7637 ax-addcom 7638 ax-mulcom 7639 ax-addass 7640 ax-mulass 7641 ax-distr 7642 ax-i2m1 7643 ax-0lt1 7644 ax-1rid 7645 ax-0id 7646 ax-rnegex 7647 ax-precex 7648 ax-cnre 7649 ax-pre-ltirr 7650 ax-pre-ltwlin 7651 ax-pre-lttrn 7652 ax-pre-apti 7653 ax-pre-ltadd 7654 ax-pre-mulgt0 7655 ax-pre-mulext 7656 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 944 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-nel 2376 df-ral 2393 df-rex 2394 df-reu 2395 df-rmo 2396 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-csb 2970 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-nul 3328 df-if 3439 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-int 3736 df-iun 3779 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-tr 3985 df-id 4173 df-po 4176 df-iso 4177 df-iord 4246 df-on 4248 df-ilim 4249 df-suc 4251 df-iom 4463 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-f1 5084 df-fo 5085 df-f1o 5086 df-fv 5087 df-riota 5682 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-1st 5989 df-2nd 5990 df-recs 6153 df-frec 6239 df-pnf 7719 df-mnf 7720 df-xr 7721 df-ltxr 7722 df-le 7723 df-sub 7851 df-neg 7852 df-reap 8248 df-ap 8255 df-div 8339 df-inn 8624 df-n0 8875 df-z 8952 df-uz 9222 df-seqfrec 10105 df-exp 10179 |
This theorem is referenced by: expmulzap 10225 expnass 10284 expmuld 10313 |
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