Theorem crth 13002

Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps x to its remainder classes mod M and mod N is 1-1 and onto when M and N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	|- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
crth.2	|- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
crth.3	|- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
crth.4	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
crth	|- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Distinct variable groups:   x, M   x, N   x, S   x, T   ph, x

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem crth

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10554	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> x e. ZZ )
2		crth.1	. . . . . 6 |- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
3	1, 2	eleq2s 2333	. . . . 5 |- ( x e. S -> x e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
5		crth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
6	5	simp1d 1040	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> M e. NN )
8		zmodfzo 10784	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
10	5	simp2d 1041	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> N e. NN )
12		zmodfzo 10784	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
13	4, 11, 12	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
14		opelxpi 4806	. . . . . . 7 |- ( ( ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
16		crth.2	. . . . . 6 |- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
17	15, 16	eleqtrrdi 2332	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
18	3, 17	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
19		crth.3	. . . 4 |- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
20	18, 19	fmptd 5862	. . 3 |- ( ph -> F : S --> T )
21		simprl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. S )
22		elfzoelz 10554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y e. ZZ )
23	22, 2	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
24	23	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
25		zq 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. QQ )
27	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. NN )
28		nnq 10033	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. QQ )
30	27	nngt0d 9348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < M )
31	26, 29, 30	modqcld 10765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod M ) e. QQ )
32	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. NN )
33		nnq 10033	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. QQ )
35	32	nngt0d 9348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < N )
36	26, 34, 35	modqcld 10765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod N ) e. QQ )
37		opexg 4368	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
38	31, 36, 37	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
39		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod M ) = ( y mod M ) )
40		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod N ) = ( y mod N ) )
41	39, 40	opeq12d 3912	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
42	41, 19	fvmptg 5781	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. S /\ <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
43	21, 38, 42	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
44		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
45		elfzoelz 10554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z e. ZZ )
46	45, 2	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S -> z e. ZZ )
47	44, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
48		zq 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. QQ )
50	49, 29, 30	modqcld 10765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod M ) e. QQ )
51	49, 34, 35	modqcld 10765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod N ) e. QQ )
52		opexg 4368	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z mod M ) e. QQ /\ ( z mod N ) e. QQ ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
53	50, 51, 52	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
54		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod M ) = ( z mod M ) )
55		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod N ) = ( z mod N ) )
56	54, 55	opeq12d 3912	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
57	56, 19	fvmptg 5781	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
58	44, 53, 57	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
59	43, 58	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. ) )
60		opthg 4378	. . . . . . 7 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
61	31, 36, 60	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
62	59, 61	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
63	27	nnzd 9767	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. ZZ )
64	32	nnzd 9767	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. ZZ )
65	21, 2	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
66	65, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
67	44, 2	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
68	67, 45	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
69	66, 68	zsubcld 9773	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y - z ) e. ZZ )
70	5	simp3d 1042	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
71	70	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M gcd N ) = 1 )
72		coprmdvds2 12871	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( y - z ) e. ZZ ) /\ ( M gcd N ) = 1 ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
73	63, 64, 69, 71, 72	syl31anc 1281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
74		moddvds 12566	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
75	27, 66, 68, 74	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
76		moddvds 12566	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
77	32, 66, 68, 76	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
78	75, 77	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) <-> ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) ) )
79		qmulcl 10037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( M x. N ) e. QQ )
80	29, 34, 79	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. QQ )
81		elfzole1 10563	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ y )
82	65, 81	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ y )
83		elfzolt2 10564	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y < ( M x. N ) )
84	65, 83	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y < ( M x. N ) )
85		modqid 10786	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < ( M x. N ) ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
86	26, 80, 82, 84, 85	syl22anc 1279	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
87		elfzole1 10563	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ z )
88	67, 87	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ z )
89		elfzolt2 10564	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z < ( M x. N ) )
90	67, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z < ( M x. N ) )
91		modqid 10786	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ z /\ z < ( M x. N ) ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
92	49, 80, 88, 90, 91	syl22anc 1279	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
93	86, 92	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> y = z ) )
94	27, 32	nnmulcld 9353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. NN )
95		moddvds 12566	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M x. N ) e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
96	94, 66, 68, 95	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
97	93, 96	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y = z <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
98	73, 78, 97	3imtr4d 203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) -> y = z ) )
99	62, 98	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
100	99	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( ph -> A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
101		dff13 5974	. . 3 |- ( F : S -1-1-> T <-> ( F : S --> T /\ A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
102	20, 100, 101	sylanbrc 421	. 2 |- ( ph -> F : S -1-1-> T )
103		nnnn0 9570	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
104		nnnn0 9570	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
105		hashfzo0 11264	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ M ) ) = M )
106		hashfzo0 11264	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
107	105, 106	oveqan12d 6104	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) = ( M x. N ) )
108		0z 9655	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
109		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
110	109	nn0zd 9766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
111		fzofig 10869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
112	108, 110, 111	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
113		nn0z 9664	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
115		fzofig 10869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
116	108, 114, 115	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
117		hashxp 11267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
118	112, 116, 117	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
119		nn0mulcl 9599	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. NN0 )
120		hashfzo0 11264	. . . . . . . . 9 |- ( ( M x. N ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
122	107, 118, 121	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
123	119	nn0zd 9766	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
124		fzofig 10869	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
125	108, 123, 124	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
126		xpfi 7239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
127	112, 116, 126	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
128		hashen 11223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin /\ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
129	125, 127, 128	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
130	122, 129	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
131	103, 104, 130	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
132	6, 10, 131	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
133	132, 2, 16	3brtr4g 4164	. . 3 |- ( ph -> S ~~ T )
134	6	nnnn0d 9620	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN0 )
135	10	nnnn0d 9620	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
136	134, 135, 127	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
137	16, 136	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( ph -> T e. Fin )
138		f1finf1o 7264	. . 3 |- ( ( S ~~ T /\ T e. Fin ) -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
139	133, 137, 138	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
140	102, 139	mpbid 147	1 |- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   <.cop 3712   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   -->wf 5373   -1-1->wf1 5374   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   0cc0 8179   1c1 8180   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   QQcq 10019  ..^cfzo 10549   mod cmo 10759  ♯chash 11214   || cdvds 12554   gcd cgcd 12730

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-gcd 12731

This theorem is used by:  phimullem  13003