Theorem crth 12921

Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps x to its remainder classes mod M and mod N is 1-1 and onto when M and N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	|- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
crth.2	|- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
crth.3	|- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
crth.4	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
crth	|- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Distinct variable groups:   x, M   x, N   x, S   x, T   ph, x

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem crth

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10481	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> x e. ZZ )
2		crth.1	. . . . . 6 |- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
3	1, 2	eleq2s 2327	. . . . 5 |- ( x e. S -> x e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
5		crth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
6	5	simp1d 1036	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> M e. NN )
8		zmodfzo 10709	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
10	5	simp2d 1037	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> N e. NN )
12		zmodfzo 10709	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
14		opelxpi 4781	. . . . . . 7 |- ( ( ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
16		crth.2	. . . . . 6 |- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
17	15, 16	eleqtrrdi 2326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
18	3, 17	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
19		crth.3	. . . 4 |- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
20	18, 19	fmptd 5831	. . 3 |- ( ph -> F : S --> T )
21		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. S )
22		elfzoelz 10481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y e. ZZ )
23	22, 2	eleq2s 2327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
24	23	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
25		zq 9958	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. QQ )
27	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. NN )
28		nnq 9965	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. QQ )
30	27	nngt0d 9281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < M )
31	26, 29, 30	modqcld 10690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod M ) e. QQ )
32	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. NN )
33		nnq 9965	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. QQ )
35	32	nngt0d 9281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < N )
36	26, 34, 35	modqcld 10690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod N ) e. QQ )
37		opexg 4344	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
38	31, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
39		oveq1 6057	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod M ) = ( y mod M ) )
40		oveq1 6057	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod N ) = ( y mod N ) )
41	39, 40	opeq12d 3891	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
42	41, 19	fvmptg 5753	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. S /\ <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
43	21, 38, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
44		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
45		elfzoelz 10481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z e. ZZ )
46	45, 2	eleq2s 2327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S -> z e. ZZ )
47	44, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
48		zq 9958	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. QQ )
50	49, 29, 30	modqcld 10690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod M ) e. QQ )
51	49, 34, 35	modqcld 10690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod N ) e. QQ )
52		opexg 4344	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z mod M ) e. QQ /\ ( z mod N ) e. QQ ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
54		oveq1 6057	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod M ) = ( z mod M ) )
55		oveq1 6057	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod N ) = ( z mod N ) )
56	54, 55	opeq12d 3891	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
57	56, 19	fvmptg 5753	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
58	44, 53, 57	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
59	43, 58	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. ) )
60		opthg 4354	. . . . . . 7 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
61	31, 36, 60	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
62	59, 61	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
63	27	nnzd 9699	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. ZZ )
64	32	nnzd 9699	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. ZZ )
65	21, 2	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
66	65, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
67	44, 2	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
68	67, 45	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
69	66, 68	zsubcld 9705	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y - z ) e. ZZ )
70	5	simp3d 1038	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
71	70	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M gcd N ) = 1 )
72		coprmdvds2 12790	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( y - z ) e. ZZ ) /\ ( M gcd N ) = 1 ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
73	63, 64, 69, 71, 72	syl31anc 1277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
74		moddvds 12485	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
75	27, 66, 68, 74	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
76		moddvds 12485	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
77	32, 66, 68, 76	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
78	75, 77	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) <-> ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) ) )
79		qmulcl 9969	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( M x. N ) e. QQ )
80	29, 34, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. QQ )
81		elfzole1 10490	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ y )
82	65, 81	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ y )
83		elfzolt2 10491	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y < ( M x. N ) )
84	65, 83	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y < ( M x. N ) )
85		modqid 10711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < ( M x. N ) ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
86	26, 80, 82, 84, 85	syl22anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
87		elfzole1 10490	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ z )
88	67, 87	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ z )
89		elfzolt2 10491	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z < ( M x. N ) )
90	67, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z < ( M x. N ) )
91		modqid 10711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ z /\ z < ( M x. N ) ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
92	49, 80, 88, 90, 91	syl22anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
93	86, 92	eqeq12d 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> y = z ) )
94	27, 32	nnmulcld 9286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. NN )
95		moddvds 12485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M x. N ) e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
96	94, 66, 68, 95	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
97	93, 96	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y = z <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
98	73, 78, 97	3imtr4d 203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) -> y = z ) )
99	62, 98	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
100	99	ralrimivva 2624	. . 3 |- ( ph -> A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
101		dff13 5941	. . 3 |- ( F : S -1-1-> T <-> ( F : S --> T /\ A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
102	20, 100, 101	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> F : S -1-1-> T )
103		nnnn0 9503	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
104		nnnn0 9503	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
105		hashfzo0 11188	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ M ) ) = M )
106		hashfzo0 11188	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
107	105, 106	oveqan12d 6069	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) = ( M x. N ) )
108		0z 9588	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
109		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
110	109	nn0zd 9698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
111		fzofig 10794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
112	108, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
113		nn0z 9597	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
115		fzofig 10794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
116	108, 114, 115	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
117		hashxp 11191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
118	112, 116, 117	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
119		nn0mulcl 9532	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. NN0 )
120		hashfzo0 11188	. . . . . . . . 9 |- ( ( M x. N ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
122	107, 118, 121	3eqtr4rd 2276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
123	119	nn0zd 9698	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
124		fzofig 10794	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
125	108, 123, 124	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
126		xpfi 7192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
127	112, 116, 126	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
128		hashen 11147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin /\ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
129	125, 127, 128	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
130	122, 129	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
131	103, 104, 130	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
132	6, 10, 131	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
133	132, 2, 16	3brtr4g 4143	. . 3 |- ( ph -> S ~~ T )
134	6	nnnn0d 9553	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN0 )
135	10	nnnn0d 9553	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
136	134, 135, 127	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
137	16, 136	eqeltrid 2319	. . 3 |- ( ph -> T e. Fin )
138		f1finf1o 7217	. . 3 |- ( ( S ~~ T /\ T e. Fin ) -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
139	133, 137, 138	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
140	102, 139	mpbid 147	1 |- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   <.cop 3692   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   X. cxp 4747   -->wf 5348   -1-1->wf1 5349   -1-1-onto->wf1o 5351   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ~~ cen 6973   Fincfn 6975   0cc0 8127   1c1 8128   x. cmul 8132   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   NNcn 9237   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   QQcq 9951  ..^cfzo 10476   mod cmo 10684  ♯chash 11138   || cdvds 12473   gcd cgcd 12649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-gcd 12650

This theorem is referenced by:  phimullem  12922