Theorem crth 12256

Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps x to its remainder classes mod M and mod N is 1-1 and onto when M and N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	|- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
crth.2	|- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
crth.3	|- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
crth.4	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
crth	|- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Distinct variable groups:   x, M   x, N   x, S   x, T   ph, x

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem crth

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10177	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> x e. ZZ )
2		crth.1	. . . . . 6 |- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
3	1, 2	eleq2s 2284	. . . . 5 |- ( x e. S -> x e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
5		crth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
6	5	simp1d 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> M e. NN )
8		zmodfzo 10378	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
10	5	simp2d 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> N e. NN )
12		zmodfzo 10378	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
14		opelxpi 4676	. . . . . . 7 |- ( ( ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
16		crth.2	. . . . . 6 |- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
17	15, 16	eleqtrrdi 2283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
18	3, 17	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
19		crth.3	. . . 4 |- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
20	18, 19	fmptd 5691	. . 3 |- ( ph -> F : S --> T )
21		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. S )
22		elfzoelz 10177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y e. ZZ )
23	22, 2	eleq2s 2284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
24	23	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
25		zq 9656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. QQ )
27	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. NN )
28		nnq 9663	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. QQ )
30	27	nngt0d 8993	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < M )
31	26, 29, 30	modqcld 10359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod M ) e. QQ )
32	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. NN )
33		nnq 9663	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. QQ )
35	32	nngt0d 8993	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < N )
36	26, 34, 35	modqcld 10359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod N ) e. QQ )
37		opexg 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
38	31, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
39		oveq1 5903	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod M ) = ( y mod M ) )
40		oveq1 5903	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod N ) = ( y mod N ) )
41	39, 40	opeq12d 3801	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
42	41, 19	fvmptg 5613	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. S /\ <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
43	21, 38, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
44		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
45		elfzoelz 10177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z e. ZZ )
46	45, 2	eleq2s 2284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S -> z e. ZZ )
47	44, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
48		zq 9656	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. QQ )
50	49, 29, 30	modqcld 10359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod M ) e. QQ )
51	49, 34, 35	modqcld 10359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod N ) e. QQ )
52		opexg 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z mod M ) e. QQ /\ ( z mod N ) e. QQ ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
54		oveq1 5903	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod M ) = ( z mod M ) )
55		oveq1 5903	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod N ) = ( z mod N ) )
56	54, 55	opeq12d 3801	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
57	56, 19	fvmptg 5613	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
58	44, 53, 57	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
59	43, 58	eqeq12d 2204	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. ) )
60		opthg 4256	. . . . . . 7 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
61	31, 36, 60	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
62	59, 61	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
63	27	nnzd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. ZZ )
64	32	nnzd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. ZZ )
65	21, 2	eleqtrdi 2282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
66	65, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
67	44, 2	eleqtrdi 2282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
68	67, 45	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
69	66, 68	zsubcld 9410	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y - z ) e. ZZ )
70	5	simp3d 1013	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
71	70	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M gcd N ) = 1 )
72		coprmdvds2 12125	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( y - z ) e. ZZ ) /\ ( M gcd N ) = 1 ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
73	63, 64, 69, 71, 72	syl31anc 1252	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
74		moddvds 11838	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
75	27, 66, 68, 74	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
76		moddvds 11838	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
77	32, 66, 68, 76	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
78	75, 77	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) <-> ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) ) )
79		qmulcl 9667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( M x. N ) e. QQ )
80	29, 34, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. QQ )
81		elfzole1 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ y )
82	65, 81	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ y )
83		elfzolt2 10186	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y < ( M x. N ) )
84	65, 83	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y < ( M x. N ) )
85		modqid 10380	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < ( M x. N ) ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
86	26, 80, 82, 84, 85	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
87		elfzole1 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ z )
88	67, 87	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ z )
89		elfzolt2 10186	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z < ( M x. N ) )
90	67, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z < ( M x. N ) )
91		modqid 10380	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ z /\ z < ( M x. N ) ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
92	49, 80, 88, 90, 91	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
93	86, 92	eqeq12d 2204	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> y = z ) )
94	27, 32	nnmulcld 8998	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. NN )
95		moddvds 11838	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M x. N ) e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
96	94, 66, 68, 95	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
97	93, 96	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y = z <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
98	73, 78, 97	3imtr4d 203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) -> y = z ) )
99	62, 98	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
100	99	ralrimivva 2572	. . 3 |- ( ph -> A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
101		dff13 5790	. . 3 |- ( F : S -1-1-> T <-> ( F : S --> T /\ A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
102	20, 100, 101	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> F : S -1-1-> T )
103		nnnn0 9213	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
104		nnnn0 9213	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
105		hashfzo0 10835	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ M ) ) = M )
106		hashfzo0 10835	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
107	105, 106	oveqan12d 5915	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) = ( M x. N ) )
108		0z 9294	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
109		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
110	109	nn0zd 9403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
111		fzofig 10463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
112	108, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
113		nn0z 9303	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
115		fzofig 10463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
116	108, 114, 115	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
117		hashxp 10838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
118	112, 116, 117	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
119		nn0mulcl 9242	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. NN0 )
120		hashfzo0 10835	. . . . . . . . 9 |- ( ( M x. N ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
122	107, 118, 121	3eqtr4rd 2233	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
123	119	nn0zd 9403	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
124		fzofig 10463	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
125	108, 123, 124	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
126		xpfi 6958	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
127	112, 116, 126	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
128		hashen 10796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin /\ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
129	125, 127, 128	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
130	122, 129	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
131	103, 104, 130	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
132	6, 10, 131	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
133	132, 2, 16	3brtr4g 4052	. . 3 |- ( ph -> S ~~ T )
134	6	nnnn0d 9259	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN0 )
135	10	nnnn0d 9259	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
136	134, 135, 127	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
137	16, 136	eqeltrid 2276	. . 3 |- ( ph -> T e. Fin )
138		f1finf1o 6976	. . 3 |- ( ( S ~~ T /\ T e. Fin ) -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
139	133, 137, 138	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
140	102, 139	mpbid 147	1 |- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752   <.cop 3610   class class class wbr 4018   |-> cmpt 4079   X. cxp 4642   -->wf 5231   -1-1->wf1 5232   -1-1-onto->wf1o 5234   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   ~~ cen 6764   Fincfn 6766   0cc0 7841   1c1 7842   x. cmul 7846   < clt 8022   <_ cle 8023   - cmin 8158   NNcn 8949   NN0cn0 9206   ZZcz 9283   QQcq 9649  ..^cfzo 10172   mod cmo 10353  ♯chash 10787   || cdvds 11826   gcd cgcd 11975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976

This theorem is referenced by:  phimullem  12257