Theorem crth 12417

Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps x to its remainder classes mod M and mod N is 1-1 and onto when M and N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	|- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
crth.2	|- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
crth.3	|- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
crth.4	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
crth	|- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Distinct variable groups:   x, M   x, N   x, S   x, T   ph, x

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem crth

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10239	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> x e. ZZ )
2		crth.1	. . . . . 6 |- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
3	1, 2	eleq2s 2291	. . . . 5 |- ( x e. S -> x e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
5		crth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
6	5	simp1d 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> M e. NN )
8		zmodfzo 10456	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
10	5	simp2d 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> N e. NN )
12		zmodfzo 10456	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
14		opelxpi 4696	. . . . . . 7 |- ( ( ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
16		crth.2	. . . . . 6 |- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
17	15, 16	eleqtrrdi 2290	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
18	3, 17	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
19		crth.3	. . . 4 |- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
20	18, 19	fmptd 5719	. . 3 |- ( ph -> F : S --> T )
21		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. S )
22		elfzoelz 10239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y e. ZZ )
23	22, 2	eleq2s 2291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
24	23	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
25		zq 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. QQ )
27	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. NN )
28		nnq 9724	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. QQ )
30	27	nngt0d 9051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < M )
31	26, 29, 30	modqcld 10437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod M ) e. QQ )
32	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. NN )
33		nnq 9724	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. QQ )
35	32	nngt0d 9051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < N )
36	26, 34, 35	modqcld 10437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod N ) e. QQ )
37		opexg 4262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
38	31, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
39		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod M ) = ( y mod M ) )
40		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod N ) = ( y mod N ) )
41	39, 40	opeq12d 3817	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
42	41, 19	fvmptg 5640	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. S /\ <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
43	21, 38, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
44		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
45		elfzoelz 10239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z e. ZZ )
46	45, 2	eleq2s 2291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S -> z e. ZZ )
47	44, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
48		zq 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. QQ )
50	49, 29, 30	modqcld 10437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod M ) e. QQ )
51	49, 34, 35	modqcld 10437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod N ) e. QQ )
52		opexg 4262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z mod M ) e. QQ /\ ( z mod N ) e. QQ ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
54		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod M ) = ( z mod M ) )
55		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod N ) = ( z mod N ) )
56	54, 55	opeq12d 3817	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
57	56, 19	fvmptg 5640	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
58	44, 53, 57	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
59	43, 58	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. ) )
60		opthg 4272	. . . . . . 7 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
61	31, 36, 60	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
62	59, 61	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
63	27	nnzd 9464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. ZZ )
64	32	nnzd 9464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. ZZ )
65	21, 2	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
66	65, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
67	44, 2	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
68	67, 45	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
69	66, 68	zsubcld 9470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y - z ) e. ZZ )
70	5	simp3d 1013	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
71	70	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M gcd N ) = 1 )
72		coprmdvds2 12286	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( y - z ) e. ZZ ) /\ ( M gcd N ) = 1 ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
73	63, 64, 69, 71, 72	syl31anc 1252	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
74		moddvds 11981	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
75	27, 66, 68, 74	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
76		moddvds 11981	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
77	32, 66, 68, 76	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
78	75, 77	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) <-> ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) ) )
79		qmulcl 9728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( M x. N ) e. QQ )
80	29, 34, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. QQ )
81		elfzole1 10248	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ y )
82	65, 81	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ y )
83		elfzolt2 10249	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y < ( M x. N ) )
84	65, 83	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y < ( M x. N ) )
85		modqid 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < ( M x. N ) ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
86	26, 80, 82, 84, 85	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
87		elfzole1 10248	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ z )
88	67, 87	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ z )
89		elfzolt2 10249	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z < ( M x. N ) )
90	67, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z < ( M x. N ) )
91		modqid 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ z /\ z < ( M x. N ) ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
92	49, 80, 88, 90, 91	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
93	86, 92	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> y = z ) )
94	27, 32	nnmulcld 9056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. NN )
95		moddvds 11981	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M x. N ) e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
96	94, 66, 68, 95	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
97	93, 96	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y = z <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
98	73, 78, 97	3imtr4d 203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) -> y = z ) )
99	62, 98	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
100	99	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
101		dff13 5818	. . 3 |- ( F : S -1-1-> T <-> ( F : S --> T /\ A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
102	20, 100, 101	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> F : S -1-1-> T )
103		nnnn0 9273	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
104		nnnn0 9273	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
105		hashfzo0 10932	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ M ) ) = M )
106		hashfzo0 10932	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
107	105, 106	oveqan12d 5944	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) = ( M x. N ) )
108		0z 9354	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
109		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
110	109	nn0zd 9463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
111		fzofig 10541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
112	108, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
113		nn0z 9363	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
115		fzofig 10541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
116	108, 114, 115	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
117		hashxp 10935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
118	112, 116, 117	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
119		nn0mulcl 9302	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. NN0 )
120		hashfzo0 10932	. . . . . . . . 9 |- ( ( M x. N ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
122	107, 118, 121	3eqtr4rd 2240	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
123	119	nn0zd 9463	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
124		fzofig 10541	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
125	108, 123, 124	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
126		xpfi 7002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
127	112, 116, 126	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
128		hashen 10893	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin /\ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
129	125, 127, 128	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
130	122, 129	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
131	103, 104, 130	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
132	6, 10, 131	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
133	132, 2, 16	3brtr4g 4068	. . 3 |- ( ph -> S ~~ T )
134	6	nnnn0d 9319	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN0 )
135	10	nnnn0d 9319	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
136	134, 135, 127	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
137	16, 136	eqeltrid 2283	. . 3 |- ( ph -> T e. Fin )
138		f1finf1o 7022	. . 3 |- ( ( S ~~ T /\ T e. Fin ) -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
139	133, 137, 138	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
140	102, 139	mpbid 147	1 |- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   <.cop 3626   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   -->wf 5255   -1-1->wf1 5256   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ~~ cen 6806   Fincfn 6808   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   QQcq 9710  ..^cfzo 10234   mod cmo 10431  ♯chash 10884   || cdvds 11969   gcd cgcd 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146

This theorem is referenced by:  phimullem  12418