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Theorem crth 11934
Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps  x to its remainder classes  mod  M and  mod  N is 1-1 and onto when  M and  N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crth.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crth.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crth.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
Assertion
Ref Expression
crth  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
Distinct variable groups:    x, M    x, N    x, S    x, T    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem crth
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9954 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
2 crth.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
31, 2eleq2s 2235 . . . . 5  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  ZZ )
4 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
5 crth.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
65simp1d 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
76adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  M  e.  NN )
8 zmodfzo 10150 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( x  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
94, 7, 8syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
105simp2d 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1110adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
12 zmodfzo 10150 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
134, 11, 12syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
14 opelxpi 4578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
x  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )  ->  <. ( x  mod  M ) ,  ( x  mod  N
) >.  e.  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
159, 13, 14syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
16 crth.2 . . . . . 6  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
1715, 16eleqtrrdi 2234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  T
)
183, 17sylan2 284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  T
)
19 crth.3 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
2018, 19fmptd 5581 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> T )
21 simprl 521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
22 elfzoelz 9954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  e.  ZZ )
2322, 2eleq2s 2235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
2423ad2antrl 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  ZZ )
25 zq 9444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  QQ )
276adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  M  e.  NN )
28 nnq 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  M  e.  QQ )
3027nngt0d 8787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <  M )
3126, 29, 30modqcld 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  mod  M
)  e.  QQ )
3210adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  N  e.  NN )
33 nnq 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  N  e.  QQ )
3532nngt0d 8787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <  N )
3626, 34, 35modqcld 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  mod  N
)  e.  QQ )
37 opexg 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  mod  M
)  e.  QQ  /\  ( y  mod  N
)  e.  QQ )  ->  <. ( y  mod 
M ) ,  ( y  mod  N )
>.  e.  _V )
3831, 36, 37syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  <. ( y  mod  M
) ,  ( y  mod  N ) >.  e.  _V )
39 oveq1 5788 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  mod  M )  =  ( y  mod 
M ) )
40 oveq1 5788 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  mod  N )  =  ( y  mod 
N ) )
4139, 40opeq12d 3720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >. )
4241, 19fvmptg 5504 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  S  /\  <.
( y  mod  M
) ,  ( y  mod  N ) >.  e.  _V )  ->  ( F `  y )  =  <. ( y  mod 
M ) ,  ( y  mod  N )
>. )
4321, 38, 42syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  =  <. (
y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >. )
44 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
45 elfzoelz 9954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  z  e.  ZZ )
4645, 2eleq2s 2235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  ZZ )
4744, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  ZZ )
48 zq 9444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  QQ )
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  QQ )
5049, 29, 30modqcld 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  mod  M
)  e.  QQ )
5149, 34, 35modqcld 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  mod  N
)  e.  QQ )
52 opexg 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  mod  M
)  e.  QQ  /\  ( z  mod  N
)  e.  QQ )  ->  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>.  e.  _V )
5350, 51, 52syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  <. ( z  mod  M
) ,  ( z  mod  N ) >.  e.  _V )
54 oveq1 5788 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  mod  M )  =  ( z  mod 
M ) )
55 oveq1 5788 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  mod  N )  =  ( z  mod 
N ) )
5654, 55opeq12d 3720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >. )
5756, 19fvmptg 5504 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  S  /\  <.
( z  mod  M
) ,  ( z  mod  N ) >.  e.  _V )  ->  ( F `  z )  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. )
5844, 53, 57syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F `  z
)  =  <. (
z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >. )
5943, 58eqeq12d 2155 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  <. ( y  mod  M
) ,  ( y  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. ) )
60 opthg 4167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  mod  M
)  e.  QQ  /\  ( y  mod  N
)  e.  QQ )  ->  ( <. (
y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >.  =  <. ( z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >.  <->  ( (
y  mod  M )  =  ( z  mod 
M )  /\  (
y  mod  N )  =  ( z  mod 
N ) ) ) )
6131, 36, 60syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( <. ( y  mod 
M ) ,  ( y  mod  N )
>.  =  <. ( z  mod  M ) ,  ( z  mod  N
) >. 
<->  ( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  /\  ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N ) ) ) )
6259, 61bitrd 187 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <-> 
( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  /\  ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N ) ) ) )
6327nnzd 9195 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
6432nnzd 9195 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  N  e.  ZZ )
6521, 2eleqtrdi 2233 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )
6665, 22syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  ZZ )
6744, 2eleqtrdi 2233 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )
6867, 45syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  ZZ )
6966, 68zsubcld 9201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  -  z
)  e.  ZZ )
705simp3d 996 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
7170adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  gcd  N
)  =  1 )
72 coprmdvds2 11808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( y  -  z
)  e.  ZZ )  /\  ( M  gcd  N )  =  1 )  ->  ( ( M 
||  ( y  -  z )  /\  N  ||  ( y  -  z
) )  ->  ( M  x.  N )  ||  ( y  -  z
) ) )
7363, 64, 69, 71, 72syl31anc 1220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( M  ||  ( y  -  z
)  /\  N  ||  (
y  -  z ) )  ->  ( M  x.  N )  ||  (
y  -  z ) ) )
74 moddvds 11536 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  M
)  =  ( z  mod  M )  <->  M  ||  (
y  -  z ) ) )
7527, 66, 68, 74syl3anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  <-> 
M  ||  ( y  -  z ) ) )
76 moddvds 11536 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  N
)  =  ( z  mod  N )  <->  N  ||  (
y  -  z ) ) )
7732, 66, 68, 76syl3anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( y  -  z ) ) )
7875, 77anbi12d 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( y  mod  M )  =  ( z  mod  M
)  /\  ( y  mod  N )  =  ( z  mod  N ) )  <->  ( M  ||  ( y  -  z
)  /\  N  ||  (
y  -  z ) ) ) )
79 qmulcl 9455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  QQ )
8029, 34, 79syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  QQ )
81 elfzole1 9962 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  0  <_  y )
8265, 81syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <_  y )
83 elfzolt2 9963 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  <  ( M  x.  N ) )
8465, 83syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  <  ( M  x.  N ) )
85 modqid 10152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  QQ  /\  ( M  x.  N
)  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
y  /\  y  <  ( M  x.  N ) ) )  ->  (
y  mod  ( M  x.  N ) )  =  y )
8626, 80, 82, 84, 85syl22anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  mod  ( M  x.  N )
)  =  y )
87 elfzole1 9962 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  0  <_  z )
8867, 87syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <_  z )
89 elfzolt2 9963 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  z  <  ( M  x.  N ) )
9067, 89syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  <  ( M  x.  N ) )
91 modqid 10152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  QQ  /\  ( M  x.  N
)  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
z  /\  z  <  ( M  x.  N ) ) )  ->  (
z  mod  ( M  x.  N ) )  =  z )
9249, 80, 88, 90, 91syl22anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  mod  ( M  x.  N )
)  =  z )
9386, 92eqeq12d 2155 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <-> 
y  =  z ) )
9427, 32nnmulcld 8792 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN )
95 moddvds 11536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  x.  N
)  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  ( M  x.  N )
)  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <->  ( M  x.  N )  ||  (
y  -  z ) ) )
9694, 66, 68, 95syl3anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <-> 
( M  x.  N
)  ||  ( y  -  z ) ) )
9793, 96bitr3d 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( M  x.  N
)  ||  ( y  -  z ) ) )
9873, 78, 973imtr4d 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( y  mod  M )  =  ( z  mod  M
)  /\  ( y  mod  N )  =  ( z  mod  N ) )  ->  y  =  z ) )
9962, 98sylbid 149 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
10099ralrimivva 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
101 dff13 5676 . . 3  |-  ( F : S -1-1-> T  <->  ( F : S --> T  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
10220, 100, 101sylanbrc 414 . 2  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
103 nnnn0 9007 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
104 nnnn0 9007 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
105 hashfzo0 10600 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( `  (
0..^ M ) )  =  M )
106 hashfzo0 10600 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
0..^ N ) )  =  N )
107105, 106oveqan12d 5800 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( `  (
0..^ M ) )  x.  ( `  (
0..^ N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
108 0z 9088 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
109 simpl 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
110109nn0zd 9194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
111 fzofig 10235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ M )  e.  Fin )
112108, 110, 111sylancr 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ M )  e.  Fin )
113 nn0z 9097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
114113adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
115 fzofig 10235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
116108, 114, 115sylancr 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ N )  e.  Fin )
117 hashxp 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  (
0..^ N )  e. 
Fin )  ->  ( `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( `  (
0..^ M ) )  x.  ( `  (
0..^ N ) ) ) )
118112, 116, 117syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( `  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )  =  ( ( `  ( 0..^ M ) )  x.  ( `  (
0..^ N ) ) ) )
119 nn0mulcl 9036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN0 )
120 hashfzo0 10600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN0  ->  ( `  (
0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
121119, 120syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( `  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
122107, 118, 1213eqtr4rd 2184 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( `  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) ) )
123119nn0zd 9194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  x.  N
)  e.  ZZ )
124 fzofig 10235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin )
125108, 123, 124sylancr 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin )
126 xpfi 6825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  (
0..^ N )  e. 
Fin )  ->  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
127112, 116, 126syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
128 hashen 10561 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin  /\  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )  ->  ( ( `  (
0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( `  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  ~~  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) ) )
129125, 127, 128syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( `  (
0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( `  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  ~~  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) ) )
130122, 129mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
131103, 104, 130syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
1326, 10, 131syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
133132, 2, 163brtr4g 3969 . . 3  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )
1346nnnn0d 9053 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
13510nnnn0d 9053 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
136134, 135, 127syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
13716, 136eqeltrid 2227 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  Fin )
138 f1finf1o 6842 . . 3  |-  ( ( S  ~~  T  /\  T  e.  Fin )  ->  ( F : S -1-1-> T  <-> 
F : S -1-1-onto-> T ) )
139133, 137, 138syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : S -1-1-> T  <-> 
F : S -1-1-onto-> T ) )
140102, 139mpbid 146 1  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   <.cop 3534   class class class wbr 3936    |-> cmpt 3996    X. cxp 4544   -->wf 5126   -1-1->wf1 5127   -1-1-onto->wf1o 5129   ` cfv 5130  (class class class)co 5781    ~~ cen 6639   Fincfn 6641   0cc0 7643   1c1 7644    x. cmul 7648    < clt 7823    <_ cle 7824    - cmin 7956   NNcn 8743   NN0cn0 9000   ZZcz 9077   QQcq 9437  ..^cfzo 9949    mod cmo 10125  ♯chash 10552    || cdvds 11527    gcd cgcd 11669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-frec 6295  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-sup 6878  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-fl 10073  df-mod 10126  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-ihash 10553  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-dvds 11528  df-gcd 11670
This theorem is referenced by:  phimullem  11935
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