Theorem crth 12207

Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps x to its remainder classes mod M and mod N is 1-1 and onto when M and N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	|- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
crth.2	|- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
crth.3	|- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
crth.4	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
crth	|- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Distinct variable groups:   x, M   x, N   x, S   x, T   ph, x

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem crth

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10133	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> x e. ZZ )
2		crth.1	. . . . . 6 |- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
3	1, 2	eleq2s 2272	. . . . 5 |- ( x e. S -> x e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
5		crth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
6	5	simp1d 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> M e. NN )
8		zmodfzo 10333	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) )
10	5	simp2d 1010	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> N e. NN )
12		zmodfzo 10333	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) )
14		opelxpi 4655	. . . . . . 7 |- ( ( ( x mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( x mod N ) e. ( 0..^ N ) ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
16		crth.2	. . . . . 6 |- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
17	15, 16	eleqtrrdi 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
18	3, 17	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. e. T )
19		crth.3	. . . 4 |- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
20	18, 19	fmptd 5666	. . 3 |- ( ph -> F : S --> T )
21		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. S )
22		elfzoelz 10133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y e. ZZ )
23	22, 2	eleq2s 2272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
24	23	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
25		zq 9615	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. QQ )
27	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. NN )
28		nnq 9622	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. QQ )
30	27	nngt0d 8952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < M )
31	26, 29, 30	modqcld 10314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod M ) e. QQ )
32	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. NN )
33		nnq 9622	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. QQ )
35	32	nngt0d 8952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 < N )
36	26, 34, 35	modqcld 10314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod N ) e. QQ )
37		opexg 4225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
38	31, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V )
39		oveq1 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod M ) = ( y mod M ) )
40		oveq1 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x mod N ) = ( y mod N ) )
41	39, 40	opeq12d 3784	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
42	41, 19	fvmptg 5588	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. S /\ <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
43	21, 38, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` y ) = <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. )
44		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
45		elfzoelz 10133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z e. ZZ )
46	45, 2	eleq2s 2272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S -> z e. ZZ )
47	44, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
48		zq 9615	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. QQ )
50	49, 29, 30	modqcld 10314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod M ) e. QQ )
51	49, 34, 35	modqcld 10314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod N ) e. QQ )
52		opexg 4225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z mod M ) e. QQ /\ ( z mod N ) e. QQ ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V )
54		oveq1 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod M ) = ( z mod M ) )
55		oveq1 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x mod N ) = ( z mod N ) )
56	54, 55	opeq12d 3784	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
57	56, 19	fvmptg 5588	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
58	44, 53, 57	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( F ` z ) = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. )
59	43, 58	eqeq12d 2192	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. ) )
60		opthg 4235	. . . . . . 7 |- ( ( ( y mod M ) e. QQ /\ ( y mod N ) e. QQ ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
61	31, 36, 60	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( <. ( y mod M ) , ( y mod N ) >. = <. ( z mod M ) , ( z mod N ) >. <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
62	59, 61	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) ) )
63	27	nnzd 9363	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> M e. ZZ )
64	32	nnzd 9363	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> N e. ZZ )
65	21, 2	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
66	65, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ZZ )
67	44, 2	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
68	67, 45	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ZZ )
69	66, 68	zsubcld 9369	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y - z ) e. ZZ )
70	5	simp3d 1011	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
71	70	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M gcd N ) = 1 )
72		coprmdvds2 12076	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( y - z ) e. ZZ ) /\ ( M gcd N ) = 1 ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
73	63, 64, 69, 71, 72	syl31anc 1241	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) -> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
74		moddvds 11790	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
75	27, 66, 68, 74	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod M ) = ( z mod M ) <-> M || ( y - z ) ) )
76		moddvds 11790	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
77	32, 66, 68, 76	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( y - z ) ) )
78	75, 77	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) <-> ( M || ( y - z ) /\ N || ( y - z ) ) ) )
79		qmulcl 9626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( M x. N ) e. QQ )
80	29, 34, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. QQ )
81		elfzole1 10141	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ y )
82	65, 81	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ y )
83		elfzolt2 10142	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y < ( M x. N ) )
84	65, 83	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y < ( M x. N ) )
85		modqid 10335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < ( M x. N ) ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
86	26, 80, 82, 84, 85	syl22anc 1239	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y mod ( M x. N ) ) = y )
87		elfzole1 10141	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> 0 <_ z )
88	67, 87	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> 0 <_ z )
89		elfzolt2 10142	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> z < ( M x. N ) )
90	67, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z < ( M x. N ) )
91		modqid 10335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. QQ /\ ( M x. N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ z /\ z < ( M x. N ) ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
92	49, 80, 88, 90, 91	syl22anc 1239	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z mod ( M x. N ) ) = z )
93	86, 92	eqeq12d 2192	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> y = z ) )
94	27, 32	nnmulcld 8957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( M x. N ) e. NN )
95		moddvds 11790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M x. N ) e. NN /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
96	94, 66, 68, 95	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y mod ( M x. N ) ) = ( z mod ( M x. N ) ) <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
97	93, 96	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y = z <-> ( M x. N ) || ( y - z ) ) )
98	73, 78, 97	3imtr4d 203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( ( y mod M ) = ( z mod M ) /\ ( y mod N ) = ( z mod N ) ) -> y = z ) )
99	62, 98	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
100	99	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( ph -> A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
101		dff13 5763	. . 3 |- ( F : S -1-1-> T <-> ( F : S --> T /\ A. y e. S A. z e. S ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
102	20, 100, 101	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> F : S -1-1-> T )
103		nnnn0 9172	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
104		nnnn0 9172	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
105		hashfzo0 10787	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ M ) ) = M )
106		hashfzo0 10787	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
107	105, 106	oveqan12d 5888	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) = ( M x. N ) )
108		0z 9253	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
109		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
110	109	nn0zd 9362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
111		fzofig 10418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
112	108, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
113		nn0z 9262	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
115		fzofig 10418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
116	108, 114, 115	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
117		hashxp 10790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
118	112, 116, 117	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) = ( (♯ ` ( 0..^ M ) ) x. (♯ ` ( 0..^ N ) ) ) )
119		nn0mulcl 9201	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. NN0 )
120		hashfzo0 10787	. . . . . . . . 9 |- ( ( M x. N ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = ( M x. N ) )
122	107, 118, 121	3eqtr4rd 2221	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
123	119	nn0zd 9362	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
124		fzofig 10418	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
125	108, 123, 124	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
126		xpfi 6923	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
127	112, 116, 126	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
128		hashen 10748	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin /\ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
129	125, 127, 128	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 0..^ ( M x. N ) ) ) = (♯ ` ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) <-> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) ) )
130	122, 129	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
131	103, 104, 130	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
132	6, 10, 131	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( 0..^ ( M x. N ) ) ~~ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
133	132, 2, 16	3brtr4g 4034	. . 3 |- ( ph -> S ~~ T )
134	6	nnnn0d 9218	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN0 )
135	10	nnnn0d 9218	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
136	134, 135, 127	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) e. Fin )
137	16, 136	eqeltrid 2264	. . 3 |- ( ph -> T e. Fin )
138		f1finf1o 6940	. . 3 |- ( ( S ~~ T /\ T e. Fin ) -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
139	133, 137, 138	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F : S -1-1-> T <-> F : S -1-1-onto-> T ) )
140	102, 139	mpbid 147	1 |- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737   <.cop 3594   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   X. cxp 4621   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   ~~ cen 6732   Fincfn 6734   0cc0 7802   1c1 7803   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   QQcq 9608  ..^cfzo 10128   mod cmo 10308  ♯chash 10739   || cdvds 11778   gcd cgcd 11926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927

This theorem is referenced by:  phimullem  12208