Theorem nn2ge 8911

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddcl 8898	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
2		0red 7921	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
3		nnre 8885	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		nngt0 8903	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
6	5	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
7	2, 4, 6	ltled 8038	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
8		nnre 8885	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 4	addge01d 8452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
11	7, 10	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
12		nngt0 8903	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13	12	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
14	2, 9, 13	ltled 8038	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
15	4, 9	addge02d 8453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
16	14, 15	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
17		breq2 3993	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
18		breq2 3993	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
19	17, 18	anbi12d 470	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))))
20	19	rspcev 2834	. 2 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	1, 11, 16, 20	syl12anc 1231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℕcn 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879

This theorem is referenced by: (None)