ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn2ge GIF version

Theorem nn2ge 8765
Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnaddcl 8752 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
2 0red 7779 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
3 nnre 8739 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 nngt0 8757 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
65adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
72, 4, 6ltled 7893 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
8 nnre 8739 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
109, 4addge01d 8307 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
117, 10mpbid 146 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
12 nngt0 8757 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
1312adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
142, 9, 13ltled 7893 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
154, 9addge02d 8308 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
1614, 15mpbid 146 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
17 breq2 3933 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐴𝑥𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
18 breq2 3933 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐵𝑥𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
1917, 18anbi12d 464 . . 3 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))))
2019rspcev 2789 . 2 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
211, 11, 16, 20syl12anc 1214 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7631  0cc0 7632   + caddc 7635   < clt 7812  cle 7813  cn 8732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-inn 8733
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator