Theorem nn2ge 9089

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddcl 9076	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
2		0red 8093	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
3		nnre 9063	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		nngt0 9081	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
7	2, 4, 6	ltled 8211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
8		nnre 9063	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 4	addge01d 8626	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
11	7, 10	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
12		nngt0 9081	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
14	2, 9, 13	ltled 8211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
15	4, 9	addge02d 8627	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
16	14, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
17		breq2 4055	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
18		breq2 4055	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
19	17, 18	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))))
20	19	rspcev 2881	. 2 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	1, 11, 16, 20	syl12anc 1248	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℝcr 7944  0cc0 7945   + caddc 7948   < clt 8127   ≤ cle 8128  ℕcn 9056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-inn 9057

This theorem is referenced by: (None)