Theorem nn2ge 9017

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddcl 9004	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
2		0red 8022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
3		nnre 8991	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		nngt0 9009	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
7	2, 4, 6	ltled 8140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
8		nnre 8991	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 4	addge01d 8554	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
11	7, 10	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
12		nngt0 9009	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
14	2, 9, 13	ltled 8140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
15	4, 9	addge02d 8555	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
16	14, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
17		breq2 4034	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
18		breq2 4034	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
19	17, 18	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))))
20	19	rspcev 2865	. 2 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	1, 11, 16, 20	syl12anc 1247	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874   + caddc 7877   < clt 8056   ≤ cle 8057  ℕcn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-inn 8985

This theorem is referenced by: (None)