Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfex GIF version

Theorem nninfex 13219
Description: is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfex ∈ V

Proof of Theorem nninfex
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nninf 7007 . 2 = {𝑓 ∈ (2o𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖)}
2 2onn 6417 . . . . . 6 2o ∈ ω
32elexi 2698 . . . . 5 2o ∈ V
4 omex 4507 . . . . 5 ω ∈ V
53, 4mapval 6554 . . . 4 (2o𝑚 ω) = {𝑔𝑔:ω⟶2o}
6 mapex 6548 . . . . 5 ((ω ∈ V ∧ 2o ∈ V) → {𝑔𝑔:ω⟶2o} ∈ V)
74, 3, 6mp2an 422 . . . 4 {𝑔𝑔:ω⟶2o} ∈ V
85, 7eqeltri 2212 . . 3 (2o𝑚 ω) ∈ V
98rabex 4072 . 2 {𝑓 ∈ (2o𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖)} ∈ V
101, 9eqeltri 2212 1 ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1480  {cab 2125  wral 2416  {crab 2420  Vcvv 2686  wss 3071  suc csuc 4287  ωcom 4504  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  2oc2o 6307  𝑚 cmap 6542  xnninf 7005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007
This theorem is referenced by:  nninfomnilem  13228  nninffeq  13230  exmidsbthrlem  13231
  Copyright terms: Public domain W3C validator