Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfex GIF version

Theorem nninfex 11558
Description: is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfex ∈ V

Proof of Theorem nninfex
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nninf 6770 . 2 = {𝑓 ∈ (2𝑜𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖)}
2 2onn 6260 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
32elexi 2631 . . . . 5 2𝑜 ∈ V
4 omex 4398 . . . . 5 ω ∈ V
53, 4mapval 6397 . . . 4 (2𝑜𝑚 ω) = {𝑔𝑔:ω⟶2𝑜}
6 mapex 6391 . . . . 5 ((ω ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ V) → {𝑔𝑔:ω⟶2𝑜} ∈ V)
74, 3, 6mp2an 417 . . . 4 {𝑔𝑔:ω⟶2𝑜} ∈ V
85, 7eqeltri 2160 . . 3 (2𝑜𝑚 ω) ∈ V
98rabex 3975 . 2 {𝑓 ∈ (2𝑜𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖)} ∈ V
101, 9eqeltri 2160 1 ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1438  {cab 2074  wral 2359  {crab 2363  Vcvv 2619  wss 2997  suc csuc 4183  ωcom 4395  wf 4998  cfv 5002  (class class class)co 5634  2𝑜c2o 6157  𝑚 cmap 6385  xnninf 6768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770
This theorem is referenced by:  nninfomnilem  11567  exmidsbthrlem  11569
  Copyright terms: Public domain W3C validator