Theorem nninfex 7122

Description: ℕ_∞ is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfex	⊢ ℕ∞ ∈ V

Proof of Theorem nninfex

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nninf 7121	. 2 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
2		2onn 6524	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3	2	elexi 2751	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
4		omex 4594	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	3, 4	mapval 6662	. . . 4 ⊢ (2o ↑𝑚 ω) = {𝑔 ∣ 𝑔:ω⟶2o}
6		mapex 6656	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 2o ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:ω⟶2o} ∈ V)
7	4, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔:ω⟶2o} ∈ V
8	5, 7	eqeltri 2250	. . 3 ⊢ (2o ↑𝑚 ω) ∈ V
9	8	rabex 4149	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)} ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2250	1 ⊢ ℕ∞ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∀wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2739   ⊆ wss 3131  suc csuc 4367  ωcom 4591  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  2_oc2o 6413   ↑_𝑚 cmap 6650  ℕ_∞xnninf 7120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-nninf 7121

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  14852  nninffeq  14854  exmidsbthrlem  14855