Theorem nninfex 7461

Description: ℕ_∞ is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfex	⊢ ℕ∞ ∈ V

Proof of Theorem nninfex

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nninf 7460	. 2 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
2		2onn 6794	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3	2	elexi 2834	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
4		omex 4740	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	3, 4	mapval 6934	. . . 4 ⊢ (2o ↑𝑚 ω) = {𝑔 ∣ 𝑔:ω⟶2o}
6		mapex 6928	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 2o ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:ω⟶2o} ∈ V)
7	4, 3, 6	mp2an 430	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔:ω⟶2o} ∈ V
8	5, 7	eqeltri 2311	. . 3 ⊢ (2o ↑𝑚 ω) ∈ V
9	8	rabex 4280	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)} ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2311	1 ⊢ ℕ∞ ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  suc csuc 4510  ωcom 4737  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  2_oc2o 6681   ↑_𝑚 cmap 6922  ℕ_∞xnninf 7459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1o 6687  df-2o 6688  df-map 6924  df-nninf 7460

This theorem is used by:  nninfinf  10880  nninfomnilem  17061  nninffeq  17063  exmidsbthrlem  17067