Theorem nninfex 7205

Description: ℕ_∞ is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfex	⊢ ℕ∞ ∈ V

Proof of Theorem nninfex

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nninf 7204	. 2 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
2		2onn 6597	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3	2	elexi 2783	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
4		omex 4639	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	3, 4	mapval 6737	. . . 4 ⊢ (2o ↑𝑚 ω) = {𝑔 ∣ 𝑔:ω⟶2o}
6		mapex 6731	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 2o ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:ω⟶2o} ∈ V)
7	4, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔:ω⟶2o} ∈ V
8	5, 7	eqeltri 2277	. . 3 ⊢ (2o ↑𝑚 ω) ∈ V
9	8	rabex 4187	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)} ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2277	1 ⊢ ℕ∞ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2175  {cab 2190  ∀wral 2483  {crab 2487  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165  suc csuc 4410  ωcom 4636  ⟶wf 5264  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  2_oc2o 6486   ↑_𝑚 cmap 6725  ℕ_∞xnninf 7203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1o 6492  df-2o 6493  df-map 6727  df-nninf 7204

This theorem is referenced by:  nninfinf  10569  nninfomnilem  15819  nninffeq  15821  exmidsbthrlem  15825