Theorem nninffeq 16924

Description: Equality of two functions on ℕ_∞ which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. Remark: the last two hypotheses can be grouped into one, |- ( ph -> A. n e. suc om ... ). (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninffeq.f	|- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.g	|- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.oo	|- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
nninffeq.n	|- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninffeq	|- ( ph -> F = G )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   i, G, n, x   ph, i, n, x

Proof of Theorem nninffeq

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninffeq.f	. . 3 |- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
2	1	ffnd 5514	. 2 |- ( ph -> F Fn ℕ∞ )
3		nninffeq.g	. . 3 |- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
4	3	ffnd 5514	. 2 |- ( ph -> G Fn ℕ∞ )
5		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) = ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) )
6		fveq2 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
7		fveq2 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
8	6, 7	eqeq12d 2249	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
9	8	ifbid 3648	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> z e. ℕ∞ )
11		1onn 6766	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> 1o e. om )
13		peano1 4721	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> (/) e. om )
15	1	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
16	15	nn0zd 9716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
17	3	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. NN0 )
18	17	nn0zd 9716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. ZZ )
19		zdceq 9670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. ZZ /\ ( G ` z ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
21	12, 14, 20	ifcldcd 3664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) e. om )
22	5, 9, 10, 21	fvmptd3 5776	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
23		1lt2o 6688	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. 2o
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> 1o e. 2o )
25		0lt2o 6687	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. 2o
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> (/) e. 2o )
27	1	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
29	3	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
30	29	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
31		zdceq 9670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) e. ZZ /\ ( G ` x ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
33	24, 26, 32	ifcldcd 3664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) e. 2o )
34	33	fmpttd 5837	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
35		2onn 6767	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
36	35	elexi 2828	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. _V
37		nninfex 7425	. . . . . . . . . . 11 |- ℕ∞ e. _V
38	36, 37	elmap 6924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) <-> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
39	34, 38	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
40		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
41		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
42	40, 41	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) ) )
43	42	ifbid 3648	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
44		infnninf 7428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
46		nninffeq.oo	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
47		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> 1o = 1o )
48	47	cbvmptv 4211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. om |-> 1o ) = ( w e. om |-> 1o )
49	48	fveq2i 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) )
50	48	fveq2i 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) )
51	46, 49, 50	3eqtr3g 2290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
52	51	iftrued 3633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
53	52, 11	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) e. om )
54	5, 43, 45, 53	fvmptd3 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
55	54, 52	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = 1o )
56		nninffeq.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
57		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
58		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
59	57, 58	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
60	59	ifbid 3648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
61		nnnninf 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
62	61	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
64	63	iftrued 3633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
65	64, 11	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) e. om )
66	5, 60, 62, 65	fvmptd3 5776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
67	66, 64	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
68	67	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
69	68	ralimdva 2611	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
70	56, 69	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
71	39, 55, 70	nninfall 16913	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. ℕ∞ ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
72	71	r19.21bi 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
73	22, 72	eqtr3d 2269	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
74	73	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
75		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
76	75	iffalsed 3636	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = (/) )
77	74, 76	eqtr3d 2269	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> 1o = (/) )
78		1n0 6678	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
79	78	neii 2416	. . . . 5 |- -. 1o = (/)
80	79	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. 1o = (/) )
81	77, 80	pm2.65da 667	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> -. -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
82		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
83	20, 82	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
84	81, 83	ecased 1386	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) )
85	2, 4, 84	eqfnfvd 5783	1 |- ( ph -> F = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   (/)c0 3512   ifcif 3624   |-> cmpt 4176   omcom 4717   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   2oc2o 6654   ^m cmap 6895  ℕ_∞xnninf 7423   NN0cn0 9513   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1o 6660  df-2o 6661  df-map 6897  df-nninf 7424  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by: (None)