Theorem nninffeq 16798

Description: Equality of two functions on ℕ_∞ which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. Remark: the last two hypotheses can be grouped into one, |- ( ph -> A. n e. suc om ... ). (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninffeq.f	|- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.g	|- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.oo	|- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
nninffeq.n	|- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninffeq	|- ( ph -> F = G )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   i, G, n, x   ph, i, n, x

Proof of Theorem nninffeq

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninffeq.f	. . 3 |- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
2	1	ffnd 5509	. 2 |- ( ph -> F Fn ℕ∞ )
3		nninffeq.g	. . 3 |- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
4	3	ffnd 5509	. 2 |- ( ph -> G Fn ℕ∞ )
5		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) = ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) )
6		fveq2 5670	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
7		fveq2 5670	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
8	6, 7	eqeq12d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
9	8	ifbid 3644	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> z e. ℕ∞ )
11		1onn 6753	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> 1o e. om )
13		peano1 4716	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> (/) e. om )
15	1	ffvelcdmda 5812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
16	15	nn0zd 9698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
17	3	ffvelcdmda 5812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. NN0 )
18	17	nn0zd 9698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. ZZ )
19		zdceq 9653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. ZZ /\ ( G ` z ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
21	12, 14, 20	ifcldcd 3660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) e. om )
22	5, 9, 10, 21	fvmptd3 5771	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
23		1lt2o 6675	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. 2o
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> 1o e. 2o )
25		0lt2o 6674	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. 2o
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> (/) e. 2o )
27	1	ffvelcdmda 5812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
29	3	ffvelcdmda 5812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
30	29	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
31		zdceq 9653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) e. ZZ /\ ( G ` x ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
33	24, 26, 32	ifcldcd 3660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) e. 2o )
34	33	fmpttd 5832	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
35		2onn 6754	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
36	35	elexi 2826	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. _V
37		nninfex 7412	. . . . . . . . . . 11 |- ℕ∞ e. _V
38	36, 37	elmap 6911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) <-> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
39	34, 38	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
40		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
41		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
42	40, 41	eqeq12d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) ) )
43	42	ifbid 3644	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
44		infnninf 7415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
46		nninffeq.oo	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
47		eqidd 2233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> 1o = 1o )
48	47	cbvmptv 4206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. om |-> 1o ) = ( w e. om |-> 1o )
49	48	fveq2i 5673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) )
50	48	fveq2i 5673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) )
51	46, 49, 50	3eqtr3g 2288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
52	51	iftrued 3629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
53	52, 11	eqeltrdi 2323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) e. om )
54	5, 43, 45, 53	fvmptd3 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
55	54, 52	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = 1o )
56		nninffeq.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
57		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
58		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
59	57, 58	eqeq12d 2247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
60	59	ifbid 3644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
61		nnnninf 7417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
62	61	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
64	63	iftrued 3629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
65	64, 11	eqeltrdi 2323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) e. om )
66	5, 60, 62, 65	fvmptd3 5771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
67	66, 64	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
68	67	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
69	68	ralimdva 2609	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
70	56, 69	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
71	39, 55, 70	nninfall 16787	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. ℕ∞ ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
72	71	r19.21bi 2630	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
73	22, 72	eqtr3d 2267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
74	73	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
75		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
76	75	iffalsed 3632	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = (/) )
77	74, 76	eqtr3d 2267	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> 1o = (/) )
78		1n0 6665	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
79	78	neii 2414	. . . . 5 |- -. 1o = (/)
80	79	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. 1o = (/) )
81	77, 80	pm2.65da 667	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> -. -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
82		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
83	20, 82	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
84	81, 83	ecased 1386	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) )
85	2, 4, 84	eqfnfvd 5778	1 |- ( ph -> F = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   (/)c0 3508   ifcif 3620   |-> cmpt 4171   omcom 4712   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ^m cmap 6882  ℕ_∞xnninf 7410   NN0cn0 9496   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-nninf 7411  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

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