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Theorem nninffeq 13027
Description: Equality of two functions on ℕ which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
nninffeq.f  |-  ( ph  ->  F : --> NN0 )
nninffeq.g  |-  ( ph  ->  G : --> NN0 )
nninffeq.oo  |-  ( ph  ->  ( F `  (
x  e.  om  |->  1o ) )  =  ( G `  ( x  e.  om  |->  1o ) ) )
nninffeq.n  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nninffeq  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    i, F, n, x    i, G, n, x    ph, i, n, x

Proof of Theorem nninffeq
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninffeq.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : --> NN0 )
21ffnd 5241 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn )
3 nninffeq.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : --> NN0 )
43ffnd 5241 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn )
5 eqid 2115 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  |->  if ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( x  e. 
|->  if ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
) ,  1o ,  (/) ) )
6 fveq2 5387 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
7 fveq2 5387 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
86, 7eqeq12d 2130 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
98ifbid 3461 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  if ( ( F `  x )  =  ( G `  x ) ,  1o ,  (/) )  =  if (
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ,  1o ,  (/) ) )
10 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> 
z  e. )
11 1onn 6382 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  om
1211a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  ->  1o  e.  om )
13 peano1 4476 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
1413a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  ->  (/) 
e.  om )
151ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> 
( F `  z
)  e.  NN0 )
1615nn0zd 9122 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> 
( F `  z
)  e.  ZZ )
173ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> 
( G `  z
)  e.  NN0 )
1817nn0zd 9122 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> 
( G `  z
)  e.  ZZ )
19 zdceq 9077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ZZ  /\  ( G `  z )  e.  ZZ )  -> DECID  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )
2016, 18, 19syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> DECID  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )
2112, 14, 20ifcldcd 3475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  ->  if ( ( F `  z )  =  ( G `  z ) ,  1o ,  (/) )  e.  om )
225, 9, 10, 21fvmptd3 5480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> 
( ( x  e.  |->  if ( ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ,  1o ,  (/) ) ) `
 z )  =  if ( ( F `
 z )  =  ( G `  z
) ,  1o ,  (/) ) )
23 1lt2o 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  2o
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e. )  ->  1o  e.  2o )
25 0lt2o 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  2o
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e. )  ->  (/) 
e.  2o )
271ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e. )  -> 
( F `  x
)  e.  NN0 )
2827nn0zd 9122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e. )  -> 
( F `  x
)  e.  ZZ )
293ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e. )  -> 
( G `  x
)  e.  NN0 )
3029nn0zd 9122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e. )  -> 
( G `  x
)  e.  ZZ )
31 zdceq 9077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ZZ  /\  ( G `  x )  e.  ZZ )  -> DECID  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3228, 30, 31syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e. )  -> DECID  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3324, 26, 32ifcldcd 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e. )  ->  if ( ( F `  x )  =  ( G `  x ) ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
3433fmpttd 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e. 
|->  if ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
) ,  1o ,  (/) ) ) : --> 2o )
35 2onn 6383 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
3635elexi 2670 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  e.  _V
37 nninfex 13016 . . . . . . . . . . 11  |-  e.  _V
3836, 37elmap 6537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e. 
|->  if ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
) ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m )  <->  ( x  e.  |->  if ( ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ,  1o ,  (/) ) ) : --> 2o )
3934, 38sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e. 
|->  if ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
) ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m ) )
40 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( w  e. 
om  |->  1o )  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 ( w  e. 
om  |->  1o ) ) )
41 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( w  e. 
om  |->  1o )  -> 
( G `  x
)  =  ( G `
 ( w  e. 
om  |->  1o ) ) )
4240, 41eqeq12d 2130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( w  e. 
om  |->  1o )  -> 
( ( F `  x )  =  ( G `  x )  <-> 
( F `  (
w  e.  om  |->  1o ) )  =  ( G `  ( w  e.  om  |->  1o ) ) ) )
4342ifbid 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( w  e. 
om  |->  1o )  ->  if ( ( F `  x )  =  ( G `  x ) ,  1o ,  (/) )  =  if (
( F `  (
w  e.  om  |->  1o ) )  =  ( G `  ( w  e.  om  |->  1o ) ) ,  1o ,  (/) ) )
44 fconstmpt 4554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  =  ( w  e.  om  |->  1o )
45 infnninf 6988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.
4644, 45eqeltrri 2189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  om  |->  1o )  e.
4746a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( w  e.  om  |->  1o )  e. )
48 nninffeq.oo . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  (
x  e.  om  |->  1o ) )  =  ( G `  ( x  e.  om  |->  1o ) ) )
49 eqidd 2116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  1o  =  1o )
5049cbvmptv 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  om  |->  1o )  =  ( w  e. 
om  |->  1o )
5150fveq2i 5390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 ( x  e. 
om  |->  1o ) )  =  ( F `  ( w  e.  om  |->  1o ) )
5250fveq2i 5390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G `
 ( x  e. 
om  |->  1o ) )  =  ( G `  ( w  e.  om  |->  1o ) )
5348, 51, 523eqtr3g 2171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  (
w  e.  om  |->  1o ) )  =  ( G `  ( w  e.  om  |->  1o ) ) )
5453iftrued 3449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 ( w  e. 
om  |->  1o ) )  =  ( G `  ( w  e.  om  |->  1o ) ) ,  1o ,  (/) )  =  1o )
5554, 11syl6eqel 2206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 ( w  e. 
om  |->  1o ) )  =  ( G `  ( w  e.  om  |->  1o ) ) ,  1o ,  (/) )  e.  om )
565, 43, 47, 55fvmptd3 5480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  |->  if ( ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ,  1o ,  (/) ) ) `
 ( w  e. 
om  |->  1o ) )  =  if ( ( F `  ( w  e.  om  |->  1o ) )  =  ( G `
 ( w  e. 
om  |->  1o ) ) ,  1o ,  (/) ) )
5756, 54eqtrd 2148 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  |->  if ( ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ,  1o ,  (/) ) ) `
 ( w  e. 
om  |->  1o ) )  =  1o )
58 nninffeq.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )
59 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )
60 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( G `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )
6159, 60eqeq12d 2130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( G `  x )  <-> 
( F `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
6261ifbid 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  ->  if ( ( F `  x )  =  ( G `  x ) ,  1o ,  (/) )  =  if (
( F `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) ,  1o ,  (/) ) )
63 nnnninf 6989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
6463ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
65 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )  ->  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )
6665iftrued 3449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )  ->  if ( ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) ,  1o ,  (/) )  =  1o )
6766, 11syl6eqel 2206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )  ->  if ( ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) ,  1o ,  (/) )  e.  om )
685, 62, 64, 67fvmptd3 5480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )  ->  (
( x  e. 
|->  if ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
) ,  1o ,  (/) ) ) `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  if ( ( F `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) ,  1o ,  (/) ) )
6968, 66eqtrd 2148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )  ->  (
( x  e. 
|->  if ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
) ,  1o ,  (/) ) ) `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
7069ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  om )  ->  ( ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( (
x  e. 
|->  if ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
) ,  1o ,  (/) ) ) `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7170ralimdva 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. n  e. 
om  ( F `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  A. n  e.  om  ( ( x  e.  |->  if ( ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ,  1o ,  (/) ) ) `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7258, 71mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  ( ( x  e.  |->  if ( ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ,  1o ,  (/) ) ) `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
7339, 57, 72nninfall 13015 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( ( x  e.  |->  if ( ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ,  1o ,  (/) ) ) `
 z )  =  1o )
7473r19.21bi 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> 
( ( x  e.  |->  if ( ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ,  1o ,  (/) ) ) `
 z )  =  1o )
7522, 74eqtr3d 2150 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  ->  if ( ( F `  z )  =  ( G `  z ) ,  1o ,  (/) )  =  1o )
7675adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e. )  /\  -.  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) )  ->  if ( ( F `  z )  =  ( G `  z ) ,  1o ,  (/) )  =  1o )
77 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e. )  /\  -.  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) )  ->  -.  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )
7877iffalsed 3452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e. )  /\  -.  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) )  ->  if ( ( F `  z )  =  ( G `  z ) ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
7976, 78eqtr3d 2150 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e. )  /\  -.  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) )  ->  1o  =  (/) )
80 1n0 6295 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
8180neii 2285 . . . . 5  |-  -.  1o  =  (/)
8281a1i 9 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e. )  /\  -.  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) )  ->  -.  1o  =  (/) )
8379, 82pm2.65da 633 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  ->  -.  -.  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )
84 exmiddc 804 . . . 4  |-  (DECID  ( F `
 z )  =  ( G `  z
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( G `  z )  \/  -.  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
8520, 84syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> 
( ( F `  z )  =  ( G `  z )  \/  -.  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) ) )
8683, 85ecased 1310 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e. )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) )
872, 4, 86eqfnfvd 5487 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   (/)c0 3331   ifcif 3442   {csn 3495    |-> cmpt 3957   omcom 4472    X. cxp 4505   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1oc1o 6272   2oc2o 6273    ^m cmap 6508  ℕxnninf 6971   NN0cn0 8928   ZZcz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-nninf 6973  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006
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