Theorem nninffeq 13391

Description: Equality of two functions on ℕ_∞ which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninffeq.f	|- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.g	|- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.oo	|- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
nninffeq.n	|- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninffeq	|- ( ph -> F = G )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   i, G, n, x   ph, i, n, x

Proof of Theorem nninffeq

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninffeq.f	. . 3 |- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
2	1	ffnd 5281	. 2 |- ( ph -> F Fn ℕ∞ )
3		nninffeq.g	. . 3 |- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
4	3	ffnd 5281	. 2 |- ( ph -> G Fn ℕ∞ )
5		eqid 2140	. . . . . . . 8 |- ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) = ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) )
6		fveq2 5429	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
7		fveq2 5429	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
8	6, 7	eqeq12d 2155	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
9	8	ifbid 3498	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
10		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> z e. ℕ∞ )
11		1onn 6424	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> 1o e. om )
13		peano1 4516	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> (/) e. om )
15	1	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
16	15	nn0zd 9195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
17	3	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. NN0 )
18	17	nn0zd 9195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. ZZ )
19		zdceq 9150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. ZZ /\ ( G ` z ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
21	12, 14, 20	ifcldcd 3512	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) e. om )
22	5, 9, 10, 21	fvmptd3 5522	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
23		1lt2o 6347	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. 2o
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> 1o e. 2o )
25		0lt2o 6346	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. 2o
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> (/) e. 2o )
27	1	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 9195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
29	3	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
30	29	nn0zd 9195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
31		zdceq 9150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) e. ZZ /\ ( G ` x ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
33	24, 26, 32	ifcldcd 3512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) e. 2o )
34	33	fmpttd 5583	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
35		2onn 6425	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
36	35	elexi 2701	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. _V
37		nninfex 13380	. . . . . . . . . . 11 |- ℕ∞ e. _V
38	36, 37	elmap 6579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) <-> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
39	34, 38	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
40		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
41		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
42	40, 41	eqeq12d 2155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) ) )
43	42	ifbid 3498	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
44		fconstmpt 4594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( om X. { 1o } ) = ( w e. om |-> 1o )
45		infnninf 7030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞
46	44, 45	eqeltrri 2214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
48		nninffeq.oo	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
49		eqidd 2141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> 1o = 1o )
50	49	cbvmptv 4032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. om |-> 1o ) = ( w e. om |-> 1o )
51	50	fveq2i 5432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) )
52	50	fveq2i 5432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) )
53	48, 51, 52	3eqtr3g 2196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
54	53	iftrued 3486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
55	54, 11	eqeltrdi 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) e. om )
56	5, 43, 47, 55	fvmptd3 5522	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
57	56, 54	eqtrd 2173	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = 1o )
58		nninffeq.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
59		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
60		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
61	59, 60	eqeq12d 2155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
62	61	ifbid 3498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
63		nnnninf 7031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
64	63	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
65		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
66	65	iftrued 3486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
67	66, 11	eqeltrdi 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) e. om )
68	5, 62, 64, 67	fvmptd3 5522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
69	68, 66	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
70	69	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
71	70	ralimdva 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
72	58, 71	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
73	39, 57, 72	nninfall 13379	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. ℕ∞ ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
74	73	r19.21bi 2523	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
75	22, 74	eqtr3d 2175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
76	75	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
77		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
78	77	iffalsed 3489	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = (/) )
79	76, 78	eqtr3d 2175	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> 1o = (/) )
80		1n0 6337	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
81	80	neii 2311	. . . . 5 |- -. 1o = (/)
82	81	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. 1o = (/) )
83	79, 82	pm2.65da 651	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> -. -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
84		exmiddc 822	. . . 4 |- (DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
85	20, 84	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
86	83, 85	ecased 1328	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) )
87	2, 4, 86	eqfnfvd 5529	1 |- ( ph -> F = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   (/)c0 3368   ifcif 3479   {csn 3532   |-> cmpt 3997   omcom 4512   X. cxp 4545   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1oc1o 6314   2oc2o 6315   ^m cmap 6550  ℕ_∞xnninf 7013   NN0cn0 9001   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1o 6321  df-2o 6322  df-map 6552  df-nninf 7015  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

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