Theorem nninffeq 15664

Description: Equality of two functions on ℕ_∞ which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. Remark: the last two hypotheses can be grouped into one, |- ( ph -> A. n e. suc om ... ). (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninffeq.f	|- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.g	|- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.oo	|- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
nninffeq.n	|- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninffeq	|- ( ph -> F = G )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   i, G, n, x   ph, i, n, x

Proof of Theorem nninffeq

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninffeq.f	. . 3 |- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
2	1	ffnd 5408	. 2 |- ( ph -> F Fn ℕ∞ )
3		nninffeq.g	. . 3 |- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
4	3	ffnd 5408	. 2 |- ( ph -> G Fn ℕ∞ )
5		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) = ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) )
6		fveq2 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
7		fveq2 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
8	6, 7	eqeq12d 2211	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
9	8	ifbid 3582	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> z e. ℕ∞ )
11		1onn 6578	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> 1o e. om )
13		peano1 4630	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> (/) e. om )
15	1	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
16	15	nn0zd 9446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
17	3	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. NN0 )
18	17	nn0zd 9446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. ZZ )
19		zdceq 9401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. ZZ /\ ( G ` z ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
21	12, 14, 20	ifcldcd 3597	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) e. om )
22	5, 9, 10, 21	fvmptd3 5655	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
23		1lt2o 6500	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. 2o
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> 1o e. 2o )
25		0lt2o 6499	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. 2o
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> (/) e. 2o )
27	1	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
29	3	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
30	29	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
31		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) e. ZZ /\ ( G ` x ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
33	24, 26, 32	ifcldcd 3597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) e. 2o )
34	33	fmpttd 5717	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
35		2onn 6579	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
36	35	elexi 2775	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. _V
37		nninfex 7187	. . . . . . . . . . 11 |- ℕ∞ e. _V
38	36, 37	elmap 6736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) <-> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
39	34, 38	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
40		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
41		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
42	40, 41	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) ) )
43	42	ifbid 3582	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
44		infnninf 7190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
46		nninffeq.oo	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
47		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> 1o = 1o )
48	47	cbvmptv 4129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. om |-> 1o ) = ( w e. om |-> 1o )
49	48	fveq2i 5561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) )
50	48	fveq2i 5561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) )
51	46, 49, 50	3eqtr3g 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
52	51	iftrued 3568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
53	52, 11	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) e. om )
54	5, 43, 45, 53	fvmptd3 5655	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
55	54, 52	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = 1o )
56		nninffeq.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
57		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
58		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
59	57, 58	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
60	59	ifbid 3582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
61		nnnninf 7192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
62	61	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
64	63	iftrued 3568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
65	64, 11	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) e. om )
66	5, 60, 62, 65	fvmptd3 5655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
67	66, 64	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
68	67	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
69	68	ralimdva 2564	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
70	56, 69	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
71	39, 55, 70	nninfall 15653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. ℕ∞ ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
72	71	r19.21bi 2585	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
73	22, 72	eqtr3d 2231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
74	73	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
75		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
76	75	iffalsed 3571	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = (/) )
77	74, 76	eqtr3d 2231	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> 1o = (/) )
78		1n0 6490	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
79	78	neii 2369	. . . . 5 |- -. 1o = (/)
80	79	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. 1o = (/) )
81	77, 80	pm2.65da 662	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> -. -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
82		exmiddc 837	. . . 4 |- (DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
83	20, 82	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
84	81, 83	ecased 1360	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) )
85	2, 4, 84	eqfnfvd 5662	1 |- ( ph -> F = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   (/)c0 3450   ifcif 3561   |-> cmpt 4094   omcom 4626   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1oc1o 6467   2oc2o 6468   ^m cmap 6707  ℕ_∞xnninf 7185   NN0cn0 9249   ZZcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-map 6709  df-nninf 7186  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by: (None)