Theorem nninffeq 14053

Description: Equality of two functions on ℕ_∞ which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. Remark: the last two hypotheses can be grouped into one, |- ( ph -> A. n e. suc om ... ). (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninffeq.f	|- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.g	|- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
nninffeq.oo	|- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
nninffeq.n	|- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninffeq	|- ( ph -> F = G )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   i, G, n, x   ph, i, n, x

Proof of Theorem nninffeq

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninffeq.f	. . 3 |- ( ph -> F :ℕ∞ --> NN0 )
2	1	ffnd 5348	. 2 |- ( ph -> F Fn ℕ∞ )
3		nninffeq.g	. . 3 |- ( ph -> G :ℕ∞ --> NN0 )
4	3	ffnd 5348	. 2 |- ( ph -> G Fn ℕ∞ )
5		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) = ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) )
6		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
7		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
8	6, 7	eqeq12d 2185	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
9	8	ifbid 3547	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
10		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> z e. ℕ∞ )
11		1onn 6499	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> 1o e. om )
13		peano1 4578	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> (/) e. om )
15	1	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
16	15	nn0zd 9332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
17	3	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. NN0 )
18	17	nn0zd 9332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( G ` z ) e. ZZ )
19		zdceq 9287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. ZZ /\ ( G ` z ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) )
21	12, 14, 20	ifcldcd 3561	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) e. om )
22	5, 9, 10, 21	fvmptd3 5589	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) )
23		1lt2o 6421	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. 2o
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> 1o e. 2o )
25		0lt2o 6420	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. 2o
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> (/) e. 2o )
27	1	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
29	3	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
30	29	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
31		zdceq 9287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) e. ZZ /\ ( G ` x ) e. ZZ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> DECID ( F ` x ) = ( G ` x ) )
33	24, 26, 32	ifcldcd 3561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) e. 2o )
34	33	fmpttd 5651	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
35		2onn 6500	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
36	35	elexi 2742	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. _V
37		nninfex 7098	. . . . . . . . . . 11 |- ℕ∞ e. _V
38	36, 37	elmap 6655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) <-> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) :ℕ∞ --> 2o )
39	34, 38	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
40		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
41		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
42	40, 41	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) ) )
43	42	ifbid 3547	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( w e. om |-> 1o ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
44		infnninf 7100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( w e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
46		nninffeq.oo	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) )
47		eqidd 2171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> 1o = 1o )
48	47	cbvmptv 4085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. om |-> 1o ) = ( w e. om |-> 1o )
49	48	fveq2i 5499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( F ` ( w e. om |-> 1o ) )
50	48	fveq2i 5499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G ` ( x e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) )
51	46, 49, 50	3eqtr3g 2226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) )
52	51	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
53	52, 11	eqeltrdi 2261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) e. om )
54	5, 43, 45, 53	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = if ( ( F ` ( w e. om |-> 1o ) ) = ( G ` ( w e. om |-> 1o ) ) , 1o , (/) ) )
55	54, 52	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( w e. om |-> 1o ) ) = 1o )
56		nninffeq.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
57		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
58		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
59	57, 58	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
60	59	ifbid 3547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) -> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
61		nnnninf 7102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
62	61	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
63		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
64	63	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
65	64, 11	eqeltrdi 2261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) e. om )
66	5, 60, 62, 65	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = if ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) , 1o , (/) ) )
67	66, 64	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
68	67	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
69	68	ralimdva 2537	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. n e. om ( F ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( G ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
70	56, 69	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
71	39, 55, 70	nninfall 14042	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. ℕ∞ ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
72	71	r19.21bi 2558	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( x e. ℕ∞ |-> if ( ( F ` x ) = ( G ` x ) , 1o , (/) ) ) ` z ) = 1o )
73	22, 72	eqtr3d 2205	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
74	73	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = 1o )
75		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
76	75	iffalsed 3536	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> if ( ( F ` z ) = ( G ` z ) , 1o , (/) ) = (/) )
77	74, 76	eqtr3d 2205	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> 1o = (/) )
78		1n0 6411	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
79	78	neii 2342	. . . . 5 |- -. 1o = (/)
80	79	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) /\ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> -. 1o = (/) )
81	77, 80	pm2.65da 656	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> -. -. ( F ` z ) = ( G ` z ) )
82		exmiddc 831	. . . 4 |- (DECID ( F ` z ) = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
83	20, 82	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) \/ -. ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
84	81, 83	ecased 1344	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ℕ∞ ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) )
85	2, 4, 84	eqfnfvd 5596	1 |- ( ph -> F = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   (/)c0 3414   ifcif 3526   |-> cmpt 4050   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ^m cmap 6626  ℕ_∞xnninf 7096   NN0cn0 9135   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by: (None)