Theorem numadd 9557

Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numadd.8	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
numadd.9	⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
numadd	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 9523	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2279	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 9314	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
8	7	mulridi 8081	. . 3 ⊢ (𝑀 · 1) = 𝑀
9	8	oveq1i 5961	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
11		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13		1nn0 9318	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	3	nn0cni 9314	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
15	14	mulridi 8081	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
16	15	oveq1i 5961	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 1) + 𝐶) = (𝐴 + 𝐶)
17		numadd.8	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
18	16, 17	eqtri 2227	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 1) + 𝐶) = 𝐸
19	4	nn0cni 9314	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20	19	mulridi 8081	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 1) = 𝐵
21	20	oveq1i 5961	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
22		numadd.9	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
23	21, 22	eqtri 2227	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = 𝐹
24	2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23	numma 9554	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
25	9, 24	eqtr3i 2229	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5951  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937  ℕ₀cn0 9302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-sub 8252  df-inn 9044  df-n0 9303

This theorem is referenced by:  decadd  9564