Theorem numadd 9494

Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numadd.8	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
numadd.9	⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
numadd	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 9460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2266	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 9252	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
8	7	mulid1i 8021	. . 3 ⊢ (𝑀 · 1) = 𝑀
9	8	oveq1i 5928	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
11		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13		1nn0 9256	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	3	nn0cni 9252	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
15	14	mulid1i 8021	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
16	15	oveq1i 5928	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 1) + 𝐶) = (𝐴 + 𝐶)
17		numadd.8	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
18	16, 17	eqtri 2214	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 1) + 𝐶) = 𝐸
19	4	nn0cni 9252	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20	19	mulid1i 8021	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 1) = 𝐵
21	20	oveq1i 5928	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
22		numadd.9	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
23	21, 22	eqtri 2214	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = 𝐹
24	2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23	numma 9491	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
25	9, 24	eqtr3i 2216	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  ℕ₀cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  decadd  9501