Theorem numadd 9751

Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numadd.8	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
numadd.9	⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
numadd	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 9717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2305	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 9504	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
8	7	mulridi 8272	. . 3 ⊢ (𝑀 · 1) = 𝑀
9	8	oveq1i 6059	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
11		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13		1nn0 9508	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	3	nn0cni 9504	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
15	14	mulridi 8272	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
16	15	oveq1i 6059	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 1) + 𝐶) = (𝐴 + 𝐶)
17		numadd.8	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
18	16, 17	eqtri 2253	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 1) + 𝐶) = 𝐸
19	4	nn0cni 9504	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20	19	mulridi 8272	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 1) = 𝐵
21	20	oveq1i 6059	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
22		numadd.9	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
23	21, 22	eqtri 2253	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = 𝐹
24	2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23	numma 9748	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
25	9, 24	eqtr3i 2255	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128  ℕ₀cn0 9492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8442  df-inn 9234  df-n0 9493

This theorem is referenced by:  decadd  9758