Theorem omp1eom 7096

Description: Adding one to om. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omp1eom	|- ( om ⊔ 1o ) ~~ om

Proof of Theorem omp1eom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4594	. . 3 |- om e. _V
2		eqeq1 2184	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( y = (/) <-> x = (/) ) )
3		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( y = x -> (inr ` y ) = (inr ` x ) )
4		unieq 3820	. . . . . . 7 |- ( y = x -> U. y = U. x )
5	4	fveq2d 5521	. . . . . 6 |- ( y = x -> (inl ` U. y ) = (inl ` U. x ) )
6	2, 3, 5	ifbieq12d 3562	. . . . 5 |- ( y = x -> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
7	6	cbvmptv 4101	. . . 4 |- ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
8		suceq 4404	. . . . 5 |- ( y = x -> suc y = suc x )
9	8	cbvmptv 4101	. . . 4 |- ( y e. om |-> suc y ) = ( x e. om |-> suc x )
10		eqid 2177	. . . 4 |- case ( ( y e. om |-> suc y ) , ( _I |` 1o ) ) = case ( ( y e. om |-> suc y ) , ( _I |` 1o ) )
11	7, 9, 10	omp1eomlem 7095	. . 3 |- ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o )
12		f1oeng 6759	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> om ~~ ( om ⊔ 1o ) )
13	1, 11, 12	mp2an 426	. 2 |- om ~~ ( om ⊔ 1o )
14	13	ensymi 6784	1 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   (/)c0 3424   ifcif 3536   U.cuni 3811   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   _I cid 4290   suc csuc 4367   omcom 4591   |` cres 4630   -1-1-onto->wf1o 5217   ` cfv 5218   1oc1o 6412   ~~ cen 6740   ⊔ cdju 7038  inlcinl 7046  inrcinr 7047  casecdjucase 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-dju 7039  df-inl 7048  df-inr 7049  df-case 7085

This theorem is referenced by:  difinfsn  7101  sbthom  14859