ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omp1eom Unicode version

Theorem omp1eom 7089
Description: Adding one to  om. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
omp1eom  |-  ( om 1o )  ~~  om

Proof of Theorem omp1eom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4590 . . 3  |-  om  e.  _V
2 eqeq1 2184 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
3 fveq2 5512 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (inr `  y )  =  (inr
`  x ) )
4 unieq 3817 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  U. y  =  U. x )
54fveq2d 5516 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (inl ` 
U. y )  =  (inl `  U. x ) )
62, 3, 5ifbieq12d 3560 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  =  (/) ,  (inr `  y ) ,  (inl `  U. y ) )  =  if ( x  =  (/) ,  (inr
`  x ) ,  (inl `  U. x ) ) )
76cbvmptv 4097 . . . 4  |-  ( y  e.  om  |->  if ( y  =  (/) ,  (inr
`  y ) ,  (inl `  U. y ) ) )  =  ( x  e.  om  |->  if ( x  =  (/) ,  (inr `  x ) ,  (inl `  U. x ) ) )
8 suceq 4400 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  suc  y  =  suc  x )
98cbvmptv 4097 . . . 4  |-  ( y  e.  om  |->  suc  y
)  =  ( x  e.  om  |->  suc  x
)
10 eqid 2177 . . . 4  |- case ( ( y  e.  om  |->  suc  y ) ,  (  _I  |`  1o )
)  = case ( ( y  e.  om  |->  suc  y ) ,  (  _I  |`  1o )
)
117, 9, 10omp1eomlem 7088 . . 3  |-  ( y  e.  om  |->  if ( y  =  (/) ,  (inr
`  y ) ,  (inl `  U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om 1o )
12 f1oeng 6752 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ( y  e.  om  |->  if ( y  =  (/) ,  (inr `  y ) ,  (inl `  U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om 1o ) )  ->  om  ~~  ( om 1o ) )
131, 11, 12mp2an 426 . 2  |-  om  ~~  ( om 1o )
1413ensymi 6777 1  |-  ( om 1o )  ~~  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   ifcif 3534   U.cuni 3808   class class class wbr 4001    |-> cmpt 4062    _I cid 4286   suc csuc 4363   omcom 4587    |` cres 4626   -1-1-onto->wf1o 5212   ` cfv 5213   1oc1o 6405    ~~ cen 6733   ⊔ cdju 7031  inlcinl 7039  inrcinr 7040  casecdjucase 7077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-iord 4364  df-on 4366  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-1o 6412  df-er 6530  df-en 6736  df-dju 7032  df-inl 7041  df-inr 7042  df-case 7078
This theorem is referenced by:  difinfsn  7094  sbthom  14605
  Copyright terms: Public domain W3C validator