ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omp1eom Unicode version

Theorem omp1eom 7072
Description: Adding one to  om. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
omp1eom  |-  ( om 1o )  ~~  om

Proof of Theorem omp1eom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4577 . . 3  |-  om  e.  _V
2 eqeq1 2177 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
3 fveq2 5496 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (inr `  y )  =  (inr
`  x ) )
4 unieq 3805 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  U. y  =  U. x )
54fveq2d 5500 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (inl ` 
U. y )  =  (inl `  U. x ) )
62, 3, 5ifbieq12d 3552 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  =  (/) ,  (inr `  y ) ,  (inl `  U. y ) )  =  if ( x  =  (/) ,  (inr
`  x ) ,  (inl `  U. x ) ) )
76cbvmptv 4085 . . . 4  |-  ( y  e.  om  |->  if ( y  =  (/) ,  (inr
`  y ) ,  (inl `  U. y ) ) )  =  ( x  e.  om  |->  if ( x  =  (/) ,  (inr `  x ) ,  (inl `  U. x ) ) )
8 suceq 4387 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  suc  y  =  suc  x )
98cbvmptv 4085 . . . 4  |-  ( y  e.  om  |->  suc  y
)  =  ( x  e.  om  |->  suc  x
)
10 eqid 2170 . . . 4  |- case ( ( y  e.  om  |->  suc  y ) ,  (  _I  |`  1o )
)  = case ( ( y  e.  om  |->  suc  y ) ,  (  _I  |`  1o )
)
117, 9, 10omp1eomlem 7071 . . 3  |-  ( y  e.  om  |->  if ( y  =  (/) ,  (inr
`  y ) ,  (inl `  U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om 1o )
12 f1oeng 6735 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ( y  e.  om  |->  if ( y  =  (/) ,  (inr `  y ) ,  (inl `  U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om 1o ) )  ->  om  ~~  ( om 1o ) )
131, 11, 12mp2an 424 . 2  |-  om  ~~  ( om 1o )
1413ensymi 6760 1  |-  ( om 1o )  ~~  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   ifcif 3526   U.cuni 3796   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050    _I cid 4273   suc csuc 4350   omcom 4574    |` cres 4613   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   1oc1o 6388    ~~ cen 6716   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  inrcinr 7023  casecdjucase 7060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061
This theorem is referenced by:  difinfsn  7077  sbthom  14058
  Copyright terms: Public domain W3C validator