Theorem omp1eom 7258

Description: Adding one to om. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omp1eom	|- ( om ⊔ 1o ) ~~ om

Proof of Theorem omp1eom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4684	. . 3 |- om e. _V
2		eqeq1 2236	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( y = (/) <-> x = (/) ) )
3		fveq2 5626	. . . . . 6 |- ( y = x -> (inr ` y ) = (inr ` x ) )
4		unieq 3896	. . . . . . 7 |- ( y = x -> U. y = U. x )
5	4	fveq2d 5630	. . . . . 6 |- ( y = x -> (inl ` U. y ) = (inl ` U. x ) )
6	2, 3, 5	ifbieq12d 3629	. . . . 5 |- ( y = x -> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
7	6	cbvmptv 4179	. . . 4 |- ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
8		suceq 4492	. . . . 5 |- ( y = x -> suc y = suc x )
9	8	cbvmptv 4179	. . . 4 |- ( y e. om |-> suc y ) = ( x e. om |-> suc x )
10		eqid 2229	. . . 4 |- case ( ( y e. om |-> suc y ) , ( _I |` 1o ) ) = case ( ( y e. om |-> suc y ) , ( _I |` 1o ) )
11	7, 9, 10	omp1eomlem 7257	. . 3 |- ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o )
12		f1oeng 6906	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> om ~~ ( om ⊔ 1o ) )
13	1, 11, 12	mp2an 426	. 2 |- om ~~ ( om ⊔ 1o )
14	13	ensymi 6932	1 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   ifcif 3602   U.cuni 3887   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   _I cid 4378   suc csuc 4455   omcom 4681   |` cres 4720   -1-1-onto->wf1o 5316   ` cfv 5317   1oc1o 6553   ~~ cen 6883   ⊔ cdju 7200  inlcinl 7208  inrcinr 7209  casecdjucase 7246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dju 7201  df-inl 7210  df-inr 7211  df-case 7247

This theorem is referenced by:  difinfsn  7263  sbthom  16353