Theorem omp1eom 7072

Description: Adding one to om. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omp1eom	|- ( om ⊔ 1o ) ~~ om

Proof of Theorem omp1eom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4577	. . 3 |- om e. _V
2		eqeq1 2177	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( y = (/) <-> x = (/) ) )
3		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( y = x -> (inr ` y ) = (inr ` x ) )
4		unieq 3805	. . . . . . 7 |- ( y = x -> U. y = U. x )
5	4	fveq2d 5500	. . . . . 6 |- ( y = x -> (inl ` U. y ) = (inl ` U. x ) )
6	2, 3, 5	ifbieq12d 3552	. . . . 5 |- ( y = x -> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
7	6	cbvmptv 4085	. . . 4 |- ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
8		suceq 4387	. . . . 5 |- ( y = x -> suc y = suc x )
9	8	cbvmptv 4085	. . . 4 |- ( y e. om |-> suc y ) = ( x e. om |-> suc x )
10		eqid 2170	. . . 4 |- case ( ( y e. om |-> suc y ) , ( _I |` 1o ) ) = case ( ( y e. om |-> suc y ) , ( _I |` 1o ) )
11	7, 9, 10	omp1eomlem 7071	. . 3 |- ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o )
12		f1oeng 6735	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> om ~~ ( om ⊔ 1o ) )
13	1, 11, 12	mp2an 424	. 2 |- om ~~ ( om ⊔ 1o )
14	13	ensymi 6760	1 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   ifcif 3526   U.cuni 3796   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   _I cid 4273   suc csuc 4350   omcom 4574   |` cres 4613   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   1oc1o 6388   ~~ cen 6716   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  inrcinr 7023  casecdjucase 7060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061

This theorem is referenced by:  difinfsn  7077  sbthom  14058