Theorem omp1eom 7337

Description: Adding one to om. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omp1eom	|- ( om ⊔ 1o ) ~~ om

Proof of Theorem omp1eom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4697	. . 3 |- om e. _V
2		eqeq1 2238	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( y = (/) <-> x = (/) ) )
3		fveq2 5648	. . . . . 6 |- ( y = x -> (inr ` y ) = (inr ` x ) )
4		unieq 3907	. . . . . . 7 |- ( y = x -> U. y = U. x )
5	4	fveq2d 5652	. . . . . 6 |- ( y = x -> (inl ` U. y ) = (inl ` U. x ) )
6	2, 3, 5	ifbieq12d 3636	. . . . 5 |- ( y = x -> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
7	6	cbvmptv 4190	. . . 4 |- ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
8		suceq 4505	. . . . 5 |- ( y = x -> suc y = suc x )
9	8	cbvmptv 4190	. . . 4 |- ( y e. om |-> suc y ) = ( x e. om |-> suc x )
10		eqid 2231	. . . 4 |- case ( ( y e. om |-> suc y ) , ( _I |` 1o ) ) = case ( ( y e. om |-> suc y ) , ( _I |` 1o ) )
11	7, 9, 10	omp1eomlem 7336	. . 3 |- ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o )
12		f1oeng 6973	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ ( y e. om |-> if ( y = (/) , (inr ` y ) , (inl ` U. y ) ) ) : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o ) ) -> om ~~ ( om ⊔ 1o ) )
13	1, 11, 12	mp2an 426	. 2 |- om ~~ ( om ⊔ 1o )
14	13	ensymi 6999	1 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   (/)c0 3496   ifcif 3607   U.cuni 3898   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   _I cid 4391   suc csuc 4468   omcom 4694   |` cres 4733   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333   1oc1o 6618   ~~ cen 6950   ⊔ cdju 7279  inlcinl 7287  inrcinr 7288  casecdjucase 7325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dju 7280  df-inl 7289  df-inr 7290  df-case 7326

This theorem is referenced by:  difinfsn  7342  sbthom  16737